Quadric

O cvadrică , sau cvadrică , este o suprafață n - dimensională în spațiu n + 1-dimensional, definită ca mulțimea de zerouri a unui polinom de gradul doi . Dacă introduceți coordonatele { x 1 , x 2 , ..., x n +1 } (în spațiu euclidian sau afin ) , ecuația generală cvadrică are forma [1]

\sum _{{i,j=1}}^{{n+1}}x_{i}Q_{{ij}}x_{j}+\sum _{{i=1}}^{{n+ 1 }}P_{i}x_{i}+R=0.

Această ecuație poate fi rescrisă mai compact în notație matriceală :

xQx^{T}+Px^{T}+R=0

unde x = { x 1 , x 2 , ..., x n +1 } este un vector rând , x T este un vector transpus , Q este o matrice de dimensiune ( n +1)×( n +1) (it se presupune că, deși unul dintre elementele sale este diferit de zero), P este un vector rând, iar R este o constantă. Cel mai adesea, cvadricele sunt considerate peste numere reale sau complexe . Definiția poate fi extinsă la cvadrici din spațiul proiectiv , vezi mai jos .

Mai general, mulțimea de zerouri a unui sistem de ecuații polinomiale este cunoscută ca o varietate algebrică . Astfel, o cvadrică este o varietate algebrică ( afină sau proiectivă ) de gradul doi și codimensiunea 1.

Quadrics în spațiul euclidian

Padricele din planul euclidian corespund cazului n = 1, adică sunt curbe . De obicei nu sunt numite cvadrici, ci conice sau secțiuni conice .

Padricele din spațiul euclidian (real tridimensional) au dimensiunea n = 2 și se numesc suprafețe de ordinul doi . Făcând o schimbare ortogonală a bazei , orice cvadrică din spațiul euclidian poate fi redusă la o formă normală. Există 17 astfel de forme în spațiul euclidian tridimensional. [2] Dintre acestea, 5 sunt nesingulare (adică matricea este nesingulară [3] ). Formele degenerate includ plane, linii, puncte și chiar cvadrici fără puncte reale. [patru] ${\begin{pmatrix}Q&{\dfrac {P^{T}}{2}}\\{\dfrac {P}{2}}&R\end{pmatrix}}$

Cvadrici reale nedegenerate în spațiul euclidian
Elipsoid	${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}+{z^{2} \over c^{2}}=1$
Paraboloid eliptic	${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-z=0$
Paraboloid hiperbolic	${x^{2} \over a^{2}}-{y^{2} \over b^{2}}-z=0$
Hiperboloid cu o singură foaie	${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-{z^{2} \over c^{2}}=1$
Hiperboloid cu două foi	${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-{z^{2} \over c^{2}}=-1$

Spațiu afin și proiectiv

Clasificarea cvadricilor în spațiul afin tridimensional coincide cu clasificarea cvadricilor în spațiul euclidian. [5] Diferența este că oricare două cvadrici din aceeași clasă pot fi translatate unul în celălalt printr -o transformare afină , în timp ce transformarea ortogonală corespunzătoare nu există întotdeauna (de exemplu, un elipsoid nu poate fi transpus prin mișcare într-un elipsoid ). $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ $2x^{2}+2y^{2}+2z^{2}=1$

De la o cvadrică în spațiu afin se poate trece la o cvadrică în spațiu proiectiv prin introducerea de coordonate omogene . Să se introducă coordonate în spațiul afin, apoi în ecuația cvadricii este suficient să se înmulțească termenii liniari cu și termenul liber cu Ecuația cvadricii proiective în coordonate omogene are forma $(x_{1},x_{2},\ldots x_{{n+1}}),$ $x_0,$ $x_{0}^{2}.$

Q(x)=\sum _{{ij}}a_{{ij}}x_{i}x_{j}=0.

Fără pierderea generalității, putem presupune că matricea este simetrică, adică o cvadrică proiectivă se numește nedegenerată dacă forma pătratică corespunzătoare este nedegenerată . $Q$ $a_{{ij}}=a_{{ji}}.$

Într -un spațiu proiectiv real, conform legii inerției formelor pătratice , orice formă pătratică nedegenerată poate fi redusă ( prin transformare proiectivă ) la forma

Q(x)=\pm x_{0}^{2}\pm x_{1}^{2}\pm \cdots \pm x_{{n+1}}^{2}

Deoarece semnătura unei forme pătratice este invarianta ei, există exact trei clase de echivalență în dimensiunea n = 2 :

Q(x)={\begin{cases}x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}\\x_{ 0}^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{3}^{2}\\x_{0}^{2}+x_{1}^{ 2}-x_{2}^{2}-x_{3}^{2}\end{cases}}

Un elipsoid, un paraboloid eliptic și un hiperboloid cu două foi aparțin clasei a doua, iar un paraboloid hiperbolic și un hiperboloid cu o singură foaie aparțin celei de-a treia (ultimele două cvadrici sunt exemple de suprafețe reglate ). Nicio cvadrică dintr-un spațiu proiectiv real nu aparține primei clase, deoarece ecuația corespunzătoare definește o mulțime goală . Într -un spațiu proiectiv complex , toate cvadricile nedegenerate sunt echivalente.

Pronunțarea termenului

Dicționarele dau accentuări diferite: quadric [6] [7] (pronunție „rusă”) și quadric [8] [9] (pronunție „străină”).
Limba vorbită folosește atât pronunția quadricului (Școala Geometrică Kaliningrad), cât și a quadricului [10] [11] [12] . Nu se cunosc exemple de alte pronunții.

Literatură

Enciclopedie matematică . În cinci volume. Volumul 2, p.795 (articolul „Quadric”). Moscova: Enciclopedia sovietică, 1979-1985.

Note

↑ Silvio Levy. geom.uiuc.edu Quadrics . Formule și fapte de geometrie, extras din ediția a 30-a a Tabelelor și formulelor matematice standard CRC (CRC Press) . Preluat la 30 iulie 2013. Arhivat din original la 18 iulie 2018.
↑ Sameen Ahmed Khan. Suprafețe cuadratice în știință și inginerie . Buletinul IAPT, 2(11), 327-330 (noiembrie 2010). (Publicația Asociației Indiane a Profesorilor de Fizică). Consultat la 30 iulie 2013. Arhivat din original la 13 august 2013.
↑ Kostrikin A. I. Introducere în algebră. Partea 2. Algebră liniară. - M. : FIZMATLIT, 2000. - S. 230. - 368 p.
↑ Stewart Venit, Wayne Bishop , Elementary Linear Algebra (ediția a patra), International Thompson Publishing, 1996.
↑ P. S. Alexandrov. Curs de Geometrie Analitică și Algebră Liniară. P.275.
↑ Dicționar enciclopedic matematic, Moscova, Enciclopedia sovietică , 1988, p. 265.
↑ O. E. Ivanova și alții; resp. ed. V. V. Lopatin. Dicționar ortografic rusesc: - ed. a II-a, 2005, 943 p., p.285
↑ Dicționarul rus-englez al științelor matematice al lui Lohwater. Editat de R.P.Boas. 1990. pag. 155
↑ Dicționar ruso-portughez și portughez-rus de fizică și matematică / V.V. Logvinov. M.: Rus.yaz., 1989, p.114
↑ „suprafețele de gradul 2 se numesc quadrici” 21 min 55 sec - 22 min 05 sec Arhivat 4 aprilie 2016 la Wayback Machine (Școala de vară „Modern Mathematics”, 2015. Curs „Douăzeci și șapte de linii”).
↑ „quadric in projective space”, 1 min - 1 min 05 sec Copie de arhivă din 4 aprilie 2016 la Wayback Machine (Centrul științific și educațional MIAN . Curs „Geometrie algebrică clasică”, 2015/2016.)
↑ „Să fie X o cvadrică, să presupunem că există un punct pe această cvadrică”, 6 min 36 sec - 6 min 56 sec Copie de arhivă din 4 aprilie 2016 la Wayback Machine (seminarul de matematică al întregului institut de la Sankt Petersburg Filiala MIAN , 23 septembrie 2010.)