Sistem de coordonate omogen

Coordonatele omogene sunt un sistem de coordonate utilizat în geometria proiectivă , similar modului în care coordonatele carteziene sunt utilizate în geometria euclidiană .

Coordonatele omogene au proprietatea că obiectul pe care îl definesc nu se modifică atunci când toate coordonatele sunt înmulțite cu același număr diferit de zero. Din acest motiv, numărul de coordonate necesar pentru a reprezenta puncte este întotdeauna cu unul mai mult decât dimensiunea spațiului în care sunt utilizate acele coordonate. De exemplu, sunt necesare 2 coordonate pentru a reprezenta un punct pe o linie în spațiul 1D și sunt necesare 3 coordonate pentru a reprezenta un punct pe un plan în spațiul 2D. În coordonate omogene este posibil să se reprezinte puncte pare care sunt la infinit.

Introdus de Plücker ca o abordare analitică a principiului dualității Gergonne-Poncelet .

Geometrie proiectivă

Planul proiectiv este de obicei definit ca setul de linii care trec prin origine . Orice astfel de linie este determinată în mod unic de un punct care nu coincide cu originea . Lasă această dreaptă să treacă printr-un punct cu coordonate , atunci coordonatele omogene ale punctului corespunzător din planul proiectiv sunt un triplu de numere , definite până la proporționalitate și astfel încât toate cele trei coordonate să nu fie zero în același timp [1] . De exemplu,

De la coordonate omogene la afine , puteți merge astfel: în spațiul tridimensional , puteți desena un plan care nu trece prin originea coordonatelor ; atunci linia care trece prin origine este fie paralelă cu acest plan (în acest caz, punctul se numește „infinit depărtat”), fie o intersectează într-un singur punct, apoi poate fi asociată cu coordonatele acestui punct pe plan . De exemplu, să desenăm un plan în spațiu cu coordonatele . Atunci un punct cu coordonate omogene , dacă , corespunde unui punct din planul cu coordonate Invers, un punct cu coordonate afine în coordonate omogene se va scrie ca

Liniile din planul proiectiv sunt plane din spațiul tridimensional care trec prin origine. Un astfel de plan poate fi definit prin ecuație . Este ușor de observat că atunci când este înmulțit cu același număr, planul dat de ecuație nu se schimbă. Aceasta înseamnă că fiecărui plan îi corespund coordonatelor omogene . Un punct scris în coordonate omogene poate fi asociat cu o dreaptă, care se scrie în același mod în coordonate omogene. Astfel, liniile de pe planul proiectiv formează un „al doilea plan proiectiv”, acesta este principiul dualității proiective .

Geometrie computațională

În geometria computațională, coordonatele omogene sunt folosite pentru a calcula operații pe planul euclidian. Planul euclidian se completează temporar la cel proiectiv, coordonatele omogene 1 se adaugă la coordonatele carteziene ale punctelor, apoi se efectuează operațiile, apoi la final se realizează împărțirea la coordonatele omogene pentru a obține coordonatele carteziene, iar punctele de la infinit sunt tratate special. Această abordare face posibilă codificarea rapidă și precisă a operațiunilor cu obiecte dintr-un plan. O linie care trece prin două puncte și un punct de la intersecția a două drepte sunt ambele codificate folosind produsul încrucișat . De asemenea, de multe ori extinderea planului euclidian la planul proiectiv permite evitarea luării în considerare a cazurilor speciale în construcții intermediare, de exemplu, liniile intersectate sau paralele, și efectuarea analizei doar la sfârșit.

Coordonatele întregi omogene generalizează numerele raționale . A treia coordonată omogenă servește ca numitor comun pentru primele două coordonate, astfel încât toate calculele pot fi făcute fără erori (în aritmetică lungă ).

Exemple

• coordonate baricentrice .

Surse

1. ↑ Prasolov V.V., Tikhomirov V.N.  Geometry Arhiva copie din 13 iulie 2018 la Wayback Machine . — M .: MTSNMO , 2007. ISBN 978-5-94057-267-1