Suprafata Inoue

Suprafața Inoue este o suprafață complexă Kodaira din clasa VII . Suprafețele sunt numite după Masahita Inoue, care a oferit primele exemple non-triviale de suprafețe Kodaira clasa VII în 1974 [1] .

Suprafețele Inoue nu sunt varietăți Kähler .

Inoue suprafete cu b 2 = 0

Inoue a dat trei familii de suprafețe, S 0 , S + și S − , care sunt factori compacti (produși ai unui plan complex și a unui semiplan). Aceste suprafețe Inoue sunt varietăți solubile . Ele sunt obținute ca factor asupra unui grup discret solubil care acționează holomorf asupra . ${\mathbb {C} }\times H$ ${\mathbb {C} }\times H$ ${\mathbb {C} }\times H$

Toate suprafețele rezolvabile pe care Inoue le-a construit au un al doilea număr Betti . Aceste suprafețe sunt suprafețe Kodaira de clasa VII , ceea ce înseamnă că pentru ele dimensiunea Kodaira este egală cu . După cum au demonstrat Bogomolov [2] , Li- Yau [3] și Telemann [4] , orice suprafață din clasa VII cu b 2 = 0 este o suprafață Hopf sau o varietate solubilă de tip Inoue. $b_{2}=0$ $b_{1}=1$ $-\infty$

Aceste suprafețe nu au funcții meromorfe și nici curbe.

K. Hasegawa [5] a oferit o listă a tuturor varietăților complexe bidimensionale rezolvabile. Acestea sunt torusul complex , suprafața hipereliptică , suprafața Kodaira și suprafețele Inoue S 0 , S + și S − .

Suprafețele Inoue sunt construite explicit așa cum este descris mai jos [5] .

Suprafețe de tip S 0

Fie o matrice întreagă 3 × 3 cu două valori proprii complexe și o valoare proprie reală c>1 și . Atunci este inversabilă în numere întregi și determină acțiunea grupului de numere întregi asupra . Lasă . Acest grup este o rețea într-un grup Lie rezolvabil $\phi$ $\alpha ,{\bar {\alpha })$ $|\alpha |^{2}c=1$ $\phi$ ${\mathbb {Z} }$ ${\mathbb {Z} }^{3)$ $\Gamma :={\mathbb {Z} }^{3}\rtimes {\mathbb {Z} }$

{\mathbb {R} }^{3}\rtimes {\mathbb {R} }=({\mathbb {C} }\times {\mathbb {R} })\rtimes {\mathbb {R} }

acționând pe , în timp ce grupul acționează pe -parte prin transferuri, iar pe -parte ca . ${\mathbb {C} }\times {\mathbb {R} }$ $({\mathbb {C} }\times {\mathbb {R} })$ $\rtimes {\mathbb {R} }$ $(z,r)\mapsto (\alpha ^{t}z,c^{t}r)$

Extindem această acțiune la setând , unde t este parametrul -part al grupului . Acțiunea este banală asupra factorului în . Această acțiune este în mod evident holomorfă și factorul se numește suprafață Inoue de tip S 0 . ${\mathbb {C} }\times H={\mathbb {C} }\times {\mathbb {R} }\times {\mathbb {R} }^{>0)$ $v\mapsto e^{\log ct}v$ $\rtimes {\mathbb {R} }$ ${\mathbb {R} }^{3}\rtimes {\mathbb {R} )$ ${\mathbb {R} }^{3)$ ${\mathbb {R} }^{>0)$ ${\mathbb {C} }\times H/\Gamma$

Suprafața Inoue S 0 este definită prin alegerea unei matrice întregi , cu restricțiile de mai sus. Există un număr numărabil de astfel de suprafețe. $\phi$

Suprafețe de tip S +

Fie n un număr întreg pozitiv și grupul de matrici triunghiulare superioare $\Lambda _{n}$

{\begin{bmatrix}1&x&{\frac {z}{n}}\\0&1&y\\0&0&1\end{bmatrix)),

unde x, y, z sunt numere întregi. Să considerăm un automorfism , pe care îl notăm cu . Factorul unui grup în centrul său C este . Să presupunem că acționează ca o matrice cu două valori proprii reale pozitive a, b , cu ab = 1. $\Lambda _{n}$ $\phi$ $\Lambda _{n}$ ${\mathbb {Z} }^{2)$ $\phi$ $\Lambda _{n}/C={\mathbb {Z} }^{2}$

Luați în considerare un grup rezolvabil , cu , care acționează ca . Identificând grupul de matrici triunghiulare superioare cu , obținem o acțiune asupra . Definim o acțiune pe cu acționând trivial din partea - și acționează ca . Aceleași argumente ca și pentru suprafețele de tip Inoue arată că această acțiune este holomorfă. Factorul se numește suprafață de tip Inoue . $\Gamma _{n}:=\Lambda _{n}\rtimes {\mathbb {Z} )$ ${\mathbb {Z} }$ $\Lambda _{n}$ $\phi$ ${\mathbb {R} }^{3)$ $\Gamma _{n)$ ${\mathbb {R} }^{3}={\mathbb {C} }\times {\mathbb {R} )$ $\Gamma _{n)$ ${\mathbb {C} }\times H={\mathbb {C} }\times {\mathbb {R} }\times {\mathbb {R} }^{>0)$ $\Lambda _{n}$ ${\mathbb {R} }^{>0)$ ${\mathbb {Z} }$ $v\mapsto e^{t\log b}v$ $S^{0}$ ${\mathbb {C}}\times H/\Gamma _{n)$ ${\displaystyle S^{+))$

Suprafețe de tip S −

Inoue suprafețele de tip $S^{-}$ sunt definite în același mod ca S + , dar cele două valori proprii a, b ale automorfismului care acționează asupra au semne opuse, iar egalitatea ab = -1 este valabilă. Deoarece pătratul unui astfel de endomorfism definește o suprafață Inoue de tip S + , o suprafață Inoue de tip S − are o acoperire dublă neramificată de tip S + . $\phi$ ${\mathbb {Z} }^{2)$

Suprafețe Inoue parabolice și hiperbolice

Suprafețele Inoue parabolice și hiperbolice sunt suprafețe Kodaira de clasa VII definite de Iku Nakamura în 1984 [6] . Nu sunt soiuri rezolvabile. Aceste suprafețe au un al doilea număr Betti pozitiv. Suprafețele au învelișuri sferice și pot fi deformate într- o explozie a suprafeței Hopf .

Suprafețele Inoue parabolice conțin un ciclu de curbe raționale cu 0 auto-intersecții și o curbă eliptică. Sunt un caz special de suprafețe Enoki care au un ciclu de curbe raționale cu auto-intersecții zero, dar fără curbă eliptică. Semisuprafața Inoue conține un ciclu C de curbe raționale și este un factor al unei suprafețe Inoue hiperbolice cu două cicluri de curbe raționale.

Suprafețele Inoue hiperbolice sunt suprafețe de clasa VII 0 cu două cicluri de curbe raționale [7] .

Note

↑ Inoue, 1974 , p. 269-310.
↑ Bogomolov, 1976 , p. 273–288.
↑ Li, Yau, 1987 , p. 560-573.
↑ Teleman, 1994 , p. 253-264.
↑ 12 Hasegawa , 2005 , p. 749-767.
↑ Nakamura, 1984 , p. 393-443.
↑ Nakamura, 2008 .

Literatură

Keizo Hasegawa. Structuri complexe și Kahler pe Compact Solvmanifolds // J. Symplectic Geom.. - 2005. - Vol. 3 , nr. 4 . - S. 749-767 .
Bogomolov, F.A., Clasificarea suprafețelor din clasa VII 0 cu b 2 = 0 , Izv. Academia de Științe a URSS. - 1976. - T. 40 , nr. 2 .
Li J., Yau S., T. Hermitian Yang-Mills connections on non-Kahler multiples // Math. aspecte ale teoriei corzilor (San Diego, California, 1986). — Adv. Ser. Matematică. Phys.. - World Scientific Publishing, 1987. - Vol. 1.
Nakamura I. Pe suprafete de clasa VII 0 cu curbe // Inventiones math.. - 1984. - T. 78 .
Inoue M. Pe suprafete de clasa VII 0 // Inventiones math.. - 1974. - T. 24 .
Teleman A. Suprafeţe plan proiectiv şi teorema lui Bogomolov asupra suprafeţelor de clasa a VII -a 0 // Int. J. Math .. - 1994. - V. 5 , nr. 2 .
Nakamura I. Survey on VII 0 suprafețe // Recent Developments in NonKaehler Geometry . — Sapporo, 2008.