Suprafata hipereliptica

O suprafață hipereliptică sau bieliptică este o suprafață al cărei morfism albanez este un fascicul eliptic . Orice astfel de suprafață poate fi scrisă ca coeficientul produsului a două curbe eliptice în raport cu un grup abelian finit . Suprafețele hipereliptice formează una dintre clasele cu dimensiunea Kodaira 0 în clasificarea Enriques-Kodaira .

Invarianți

Dimensiunea Kodaira este 0.

Rhombus Hodge:

		unu
	unu		unu
0		2		0
	unu		unu
		unu

Clasificare

Orice suprafață hipereliptică este un factor , unde , F sunt curbe eliptice, iar G este un subgrup al grupului F ( acționând asupra F prin transferuri). Există șapte familii de suprafețe hipereliptice. $(E{\times}F)/G$ $E=\mathbf {C} /\Lambda$

Comanda K	$\lambda$	G	Acțiunea lui G asupra E
2	Orice	$\mathbf {Z} /2\mathbf {Z}$	$e\rightarrow -e$
2	Orice	$\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} \oplus \mathbf {Z} /2\mathbf {Z}$	$e\rightarrow -e,e\rightarrow e+c,-c=c$
3	$\mathbf {Z} \oplus \mathbf {Z} \omega$	$\mathbf {Z} /3\mathbf {Z}$	$e\rightarrow \omega e$
3	$\mathbf {Z} \oplus \mathbf {Z} \omega$	$\mathbf {Z} /3\mathbf {Z} \oplus \mathbf {Z} /3\mathbf {Z}$	$e\rightarrow \omega e,e\rightarrow e+c,{\omega }c=c$
patru	$\mathbf {Z} \oplus \mathbf {Z} i$	$\mathbf {Z} /\mathbf {Z}$	$e\rightarrow ie$
patru	$\mathbf {Z} \oplus \mathbf {Z} i$	$\mathbf {Z} /4\mathbf {Z} \oplus \mathbf {Z} /2\mathbf {Z}$	$e\rightarrow ie,e\rightarrow e+c,ic=c$
6	$\mathbf {Z} \oplus \mathbf {Z} \omega$	$\mathbf {Z} /6\mathbf {Z}$	$e\rightarrow -{\omega }e$

Aici este rădăcina cubă primitivă a lui 1 și i este a patra rădăcină primitivă a lui 1. $\omega$

Spații cvasihipereliptice

Un spațiu cvasi-hipereliptic este o suprafață al cărei divizor canonic este echivalent numeric cu zero, a cărui hartă albaneză se mapează la o curbă eliptică, iar toate fibrele sale sunt curbe cusped raționale . Ele există doar în caracteristicile 2 sau 3. Al doilea număr Betti este 2, al doilea număr Chern este zero, la fel ca și caracteristica holomorfă Euler . Clasificarea a fost realizată de Bombieri și Mumford [1] , care au găsit șase cazuri în caracteristica 3 (în acest caz 6 K = 0) și opt cazuri în caracteristica 2 (în acest caz 6 K este egal cu zero sau 4 K ). Orice suprafață cvasi-eliptică este un factor , unde E este o curbă rațională cu o cuspidă, F este o curbă eliptică și G este o subschemă de grup finit a grupului F (acționând asupra F prin transferuri). $(EF)/G$

Note

↑ Bombieri, Mumford, 1976 .

Literatură

Wolf P. Barth, Klaus Hulek, Chris AM Peters, Antonius Van de Ven. Suprafețe compacte și complexe. - Springer-Verlag, Berlin, 2004. - T. 4. - (Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge.). - ISBN 978-3-540-00832-3 .
Arnaud Beauville . Suprafețe algebrice complexe. — al 2-lea. - Cambridge University Press , 1996. - V. 34. - (London Mathematical Society Student Textes). - ISBN 978-0-521-49510-3 .
Clasificarea suprafețelor de către Enriques în char. p. III. // Inventiones Mathematicae . - 1976. - T. 35 . — S. 197–232 . — ISSN 0020-9910 . - doi : 10.1007/BF01390138 .
Analiză complexă și geometrie algebrică. - Tokyo, 1977. - S. 23-42 .