Câmp de descompunere

Câmpul de descompunere al unui polinom p peste un câmp este cea mai mică extensie a câmpului peste care se descompune într-un produs de factori liniari: $K$ $L$ $K,$ $p$

p(x)=a(x-x_{1})(x-x_{2})...(x-x_{n}),

Unde

x_{1},\dots,x_{n}\in L\supseteq K.

În acest caz, adică acesta este câmpul maxim posibil, toate elementele în care pot fi formate prin adăugarea și înmulțirea elementelor de câmp și a numerelor atât între ele, cât și între ele. Prin urmare, se vorbește despre câmpul de descompunere ca pe o extensie obținută prin adăugarea tuturor rădăcinilor unui polinom dat. $L=K(x_{1},\dots,x_{n}),$ $K$ $x_1,\dots,x_n$ $L$ $K$

În mod similar, introducem conceptul de câmp de descompunere pentru o familie de polinoame , o extensie L astfel încât fiecare p i se descompune în L [ x ] în factori liniari și L este generat peste K de către toate rădăcinile p i . Câmpul de descompunere al unei mulțimi finite de polinoame p 1 , p 2 , …, p n va fi în mod evident câmpul de descompunere al produsului lor p=p 1 p 2 …p n . $p_{i}(x), i\in I$

Câmpul de expansiune este o extensie normală . Mai mult, fiecare extensie normală poate fi reprezentată ca un câmp de descompunere a unei familii de polinoame.

Proprietăți

Câmpul de descompunere al unei familii finite de polinoame este o extensie algebrică finită a câmpului . $K$
Câmpul de descompunere al unui polinom există pentru orice familie de polinom pi și este definit în mod unic până la un izomorfism care este identic pe K .

Exemple

Daca gradul polinomului nu depaseste , atunci . $p$ $unu$ $L=K$
Câmpul numerelor complexe $\mathbb {C}$ servește ca câmp de expansiune al unui polinom peste câmpul numerelor reale . $x^{2}+1$ $\mathbb {R}$
Orice câmp finit , unde este câmpul de expansiune al unui polinom peste un subcâmp simplu . $GF(q)$ $q=p^{n}$ $x^{q}-x$ $GF(p)\subset GF(q)$

Literatură

Van der Waerden B.L. Algebra -M:, Nauka, 1975
Zarissky O., Samuel P. Algebra comutativă v.1 - M:, IL, 1963
Leng S. Algebra -M:, Mir, 1967