Extensie de câmp

Extensia câmpului (termenul supercâmp este folosit mai rar ) este un câmp care conține câmpul dat ca subcâmp. Studiul extensiilor este o sarcină importantă în teoria câmpului , deoarece orice homomorfism de câmp este o extensie. $K$ $E$ $K$

Definiții de bază

Dacă este un câmp , subcâmpul său este submulțimea sa închisă sub adunare și înmulțire , luând elementele inverse și opuse și conținând unitatea, pe care se introduc aceleași operații ca și în câmp . În acest caz, numit extensia câmpului , extensia dată este de obicei indicată (notația și este, de asemenea, folosită ). Orice homomorfism de câmp este injectiv , adică este o încorporare . De aici rezultă că specificarea unei anumite extensii este echivalentă cu specificarea unui homomorfism . $E$ $K$ $E$ $E$ $K$ $E\ supărat K$ $E/K$ $K\subset E$ $E\ supărat K$ $f:K\la E$

Având în vedere o extensie și un subset al câmpului , atunci cel mai mic subcâmp care conține și este notat și numit câmpul generat de mulțimea peste câmp . Extensiile generate de un singur element sunt numite extensii simple , iar extensiile generate de o mulțime finită sunt numite extensii finite generate . Un element care dă naștere unei extensii simple se numește element primitiv . $E\ supărat K$ $S$ $E$ $E$ $K$ $S$ $K(S)$ $S$ $K$

Pentru orice extensie, este un spațiu vectorial peste un câmp . În această situație, elementele pot fi înțelese ca „vectori” și elementele ca „scalari”, înmulțirea unui vector cu un scalar este dată de operația de înmulțire în câmpul . Dimensiunea acestui spațiu vectorial se numește grad de extensie și se notează cu . O extensie de gradul 1 se numește trivială , extensiile de gradul 2 și 3 se numesc pătratice și , respectiv , cubice . O extensie a unui grad finit se numește finit , în caz contrar se numește infinită. $E\ supărat K$ $E$ $K$ $E$ $K$ $E$ $[E:K]$

Exemple

Câmpul numerelor complexe este o extensie a câmpului numerelor reale . Această extensie este finită: , deoarece este o bază. La rândul său, câmpul numerelor reale este o extensie a câmpului numerelor raționale; gradul acestei expansiuni este egal cu puterea continuumului , deci această expansiune este infinită. $\mathbb {C}$ $\mathbb {R}$ $[\mathbb {C} :\mathbb {R} ]=2$ $(1,i)$

Setul este o extensie a câmpului , care este evident simplu. Extensiile finite sunt numite câmpuri numerice algebrice și sunt un obiect important de studiu în teoria numerelor algebrice . $\{a+b{\sqrt {2}}\mid a,b\in \mathbb {Q} \}$ $\mathbb {Q}$ $\mathbb {Q}$

Procedura obișnuită pentru construirea unei extensii a unui câmp dat, care permite adăugarea unei rădăcini polinomiale la acesta , este de a lua inelul factor al inelului polinomial de idealul principal generat de . De exemplu, lăsați câmpul să nu conțină rădăcina ecuației . Prin urmare, polinomul este ireductibil în , prin urmare, idealul este maxim și, prin urmare, inelul coeficient este un câmp. Acest câmp conține rădăcina ecuației , imaginea polinomului din maparea de factorizare. Repetând această procedură de mai multe ori, puteți obține câmpul de descompunere al unui polinom dat, adică câmpul în care acest polinom este descompus în factori liniari. $f(x)$ $f(x)$ $K$ $x^{2}=-1$ $x^{2}+1$ $K$ $(x^{2}+1)$ $K[x]/(x^{2}+1)$ $x^{2}+1=0$ $X$

Algebricitate și transcendență

Să fie o extensie a câmpului . Un element se numește algebric peste dacă este o rădăcină a unui polinom diferit de zero cu coeficienți în . Elementele care nu sunt algebrice se numesc transcendentale . De exemplu, pentru o extensie, unitatea imaginară este un număr algebric, deoarece satisface ecuația . $E$ $K$ $E$ $K$ $K$ $\mathbb {C} \supset \mathbb {R}$ $x^{2}+1=0$

Cazul special al extensiilor este deosebit de important : termenii număr algebric și număr transcendental (fără a specifica câmpul principal) sunt folosiți tocmai pentru cazul unei extensii date. $\mathbb {C} \supset \mathbb {Q}$

Dacă fiecare element al unei extensii este algebric peste , se numește extensie algebrică . Extensiile non-algebrice sunt numite transcendentale. $E\ supărat K$ $K$ $E\ supărat K$

O submulțime a unui câmp este numită independentă din punct de vedere algebric dacă nu există un polinom diferit de zero (într-un număr finit de variabile) cu coeficienți astfel încât înlocuirea unui subset finit de numere în ea va avea ca rezultat zero. Cea mai mare cardinalitate a unei mulțimi independente din punct de vedere algebric se numește gradul de transcendență al unei extensii date. Pentru orice extensie, se poate găsi o mulțime independentă din punct de vedere algebric , care este o extensie algebrică. Mulțimea care satisface această condiție se numește baza de transcendență a extensiei date. Toate bazele transcendenței au aceeași cardinalitate, egală cu gradul de transcendență al extensiei. $S$ $E$ $K$ $K$ $S$ $S$ $E\ supărat K(S)$ $S$

O extensie simplă este finită dacă este generată de un element algebric. În caz contrar, singurele elemente care sunt algebrice sunt elementele în sine . $E\ supărat K$ $K$ $K$

Extensii Galois

O extensie algebrică se numește normală dacă fiecare polinom ireductibil peste , care are cel puțin o rădăcină în , se descompune în factori liniari. $E\ supărat K$ $f(x)$ $K$ $E$ $E$

Se spune că o extensie algebrică este separabilă dacă fiecare element este separabil, adică polinomul său minim nu are rădăcini multiple. În special, teorema elementului primitiv afirmă că orice extensie finită separabilă are un element primitiv (adică este o extensie simplă). O extensie Galois este o extensie care este atât separabilă, cât și normală. $E\ supărat K$ $E$

Pentru orice extensie se poate considera grupul de automorfisme ale câmpului care acţionează identic asupra câmpului . Când o extensie este o extensie Galois, acest grup se numește grupul Galois al extensiei date. $E\ supărat K$ $E$ $K$

Pentru o extensie , este adesea util să descrieți câmpurile intermediare (adică subcâmpurile care conțin ). Teorema fundamentală a teoriei Galois afirmă că există o bijecție între mulțimea câmpurilor intermediare și mulțimea subgrupurilor grupului Galois care inversează ordinea prin includere. $E\ supărat K$ $E$ $K$

Literatură

Van der Waerden B. L. Algebră. — M .: Nauka, 1975.
Zarissky O. , Samuel P. Algebră comutativă. - vol. 1. - M . : IL, 1963.
Leng S. Algebră. — M .: Mir, 1967.
P. Aluffi. Algebră: Capitolul 0 (Studii universitare în matematică) - Societatea Americană de Matematică, 2009 - ISBN 0-8218-4781-3 .