Expansiune normală

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă revizuită de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 23 octombrie 2017; verificarea necesită 1 editare .

O extensie normală este o extensie algebrică a unui câmp pentru care fiecare polinom ireductibil peste , având cel puțin o rădăcină în , se descompune în factori liniari. $K\subset E$ $f(x)$ $K$ $E$ $E$

O definiție echivalentă: Dacă , unde este închiderea algebrică a câmpului , atunci este normal dacă orice homomorfism al câmpului în închiderea algebrică peste este un automorfism al câmpului . $K \subset E \subset K^*$ $K^{*}$ $K$ $E$ $\sigma$ $E$ $K^{*}$ $K$ $E$

Expansiunea normală ca câmp de descompunere

Orice extensie este normală dacă și numai dacă este un câmp de descompunere a unui set de polinoame din . $K\subset E$ $E$ $K[x]$

Extensii normale conform lui Galois

Dacă este o extensie Galois a câmpului , și este un sub-câmp intermediar al lui , atunci grupul Galois, prin definiție, constă din toate automorfismele lui , lăsând elementele fixe. Dacă există un anumit automorfism al întregului grup Galois , care se corelează cu acesta, este evident că $F$ $K$ $E$ $K\subset E\subset F$ $\operatorname {Gal} (F/E)$ $F$ $E$ $\sigma$ $\operatorname {Gal} (F/K)$ $E$ $\sigma (E)$

$\operatorname {Gal} (F/\sigma E)=\sigma \operatorname {Gal} (F/E)\sigma ^{-1)$

Prin urmare, o extensie este normală dacă și numai dacă subgrupul este un subgrup normal în (de unde și terminologia). $E$ $\operatorname {Gal} (F/E)$ $\operatorname {Gal} (F/K)$

Literatură

Van der Waerden B. L. Algebră. Moscova: Nauka, 1975.
Zarissky O. , Samuel P. Algebra comutativă, volumul 1. M .: IL, 1963.
Leng S. Algebră. M.: Mir, 1967.