Grupul generator al unui grup

Setul generator al unui grup (sau mulțimea generatoarelor [1] , sau sistemul generatoarelor ) este o submulțime astfel încât fiecare element poate fi scris ca produsul unui număr finit de elemente și inversele acestora. $G$ $S$ $G$ $G$ $S$

Definiție

Fie un subset al grupului . Definim — un subgrup generat de — ca fiind cel mai mic subgrup care conține toate elementele lui , adică intersecția tuturor subgrupurilor care conțin . În mod echivalent, este un subgrup al tuturor elementelor care pot fi reprezentate ca produse finite ale elementelor și inversele acestora . $S$ $G$ $\langle S\rangle$ $S$ $G$ $S$ $S$ $\langle S\rangle$ $G$ $S$

Dacă , atunci spunem că generează un grup . Elementele se numesc generatoare de grup. Dacă un grup are un set finit de generatoare, atunci se numește grup finit generat . $G=\langle S\rangle$ $S$ $G$ $S$ $G$

Note

Rețineți că, dacă este gol, atunci, prin definiție, este un grup trivial format dintr-un element neutru. $S$ $\langle S\rangle$

Când conține un singur element , de obicei este scris în loc de . În acest caz, este un subgrup ciclic de grade în . $S$ $X$ $\langle x\rangle$ $\langle \{x\}\rangle$ $\langle x\rangle$ $X$ $G$

Generarea de semigrupuri și monoizi

Pentru cazul în care este un semigrup sau un monoid, se poate introduce și un concept similar de mulțime generatoare: generează ca semigrup sau monoid dacă este un semigrup minim sau, respectiv, un monoid minim, care conține . $G$ $S$ $G$ $G$ $S$

O astfel de definiție poate fi exprimată și în limbajul reprezentativității elementului ca o combinație. Pentru un semigrup, putem spune că este o mulțime generatoare dacă fiecare element poate fi reprezentat ca un produs finit al elementelor din . Pentru un monoid, putem spune că este o mulțime generatoare dacă fiecare element , cu excepția celui neutru, poate fi reprezentat ca un produs finit al elementelor din . $S$ $G$ $S$ $S$ $G$ $S$

Din cauza diferenței de definiții, același set poate fi generator într-un sens, dar nu și în altul. De exemplu, pentru un monoid de numere întregi nenegative, mulțimea generatoare va fi , dar pentru un semigrup nu mai este o mulțime generatoare, deoarece 0 nu poate fi reprezentat ca o sumă de unități. În mod similar, pentru un grup este un grup generator, dar nu pentru un monoid, deoarece definiția unui grup generator pentru un monoid nu include luarea inverselor. $(\mathbb {N} _{\geq 0},+)$ $S=\{1\}$ $(\mathbb {N} _{\geq 0},+)$ $S$ $\mathbb {Z}$ $\{unu\}$

Grupul generator al unui grup

Definiție

Note

Generarea de semigrupuri și monoizi

Vezi și

Note

Literatură