Test statistic secvenţial

Un test statistic secvenţial este o procedură statistică secvenţială utilizată pentru a testa ipotezele statistice într- o analiză secvenţială .

Să fie disponibilă o variabilă aleatoare cu o distribuție necunoscută (complet sau parțial) pentru observare într-un experiment statistic (formal, în notație matematică, , unde spațiul de probabilitate este echipat cu -algebra evenimentelor și este măsurabil în raport cu Borel -algebră). $\displaystyle X$ ${\mathbb P}$ $X:\Omega \mapsto \mathbb {R}$ $\Omega$ $\sigma$ ${\mathcal {F}}$ $\displaystyle X$ $\sigma$

Să fie testată ipoteza nulă față de alternativa . $H_{0}:\,\mathbb {P} \in {\mathcal {P}}_{0}$ $H_{1}:\,\mathbb {P} \in {\mathcal {P}}_{1}$

La fiecare etapă a experimentului statistic, indiferent de celelalte etape, se observă o variabilă aleatorie - o copie a , până la , unde este un timp de oprire (aleatoriu) . Un test statistic secvenţial este o pereche , unde este orice funcţie a lui , luând valoarea 0 sau 1 (decizie, respectiv, în favoarea ipotezei nule sau alternative ). $i\geq 1$ $\displaystyle X_{i)$ $\displaystyle X$ $i\leq \nu$ $\displaystyle \nu$ $(\nu ,\delta )$ $\displaystyle \delta$ $(X_{1},\dots, X_{\nu })$ $H_{0}$ $H_1$

Această definiție poate primi un sens formal cu ajutorul conceptului de timp de oprire în raport cu succesiunea de -algebre generate de variabile aleatoare , . Atunci funcţia decisivă trebuie să fie măsurabilă în raport cu -algebra evenimentelor premergătoare momentului : . $\sigma$ ${\mathcal {F}}_{n}=\sigma (X_{1},X_{2},\dots X_{n})$ $X_{1},X_{2},\dots X_{n)$ $n=1,2,\dots$ $\displaystyle \delta$ $\sigma$ ${\mathcal {F}}_{\nu }$ $\nu$ ${\mathcal {F}}_{\nu }=\{A\in {\mathcal {F}}:A\cap \{\nu \leq n\}\in {\mathcal {F}} _{n}\}$

Funcția de putere a criteriului la un „punct” este definită ca . Dacă , atunci se numește probabilitatea de eroare de tip I (probabilitatea de a respinge ipoteza nulă atunci când este adevărată). Dacă , atunci se numește probabilitatea de eroare de tip II (probabilitatea de a accepta ipoteza nulă atunci când aceasta este falsă). $(\nu ,\delta )$ ${\mathbb P}$ $\beta (\mathbb {P} ;\nu ,\delta )=\mathbb {P} (\delta =1)$ $\mathbb {P} \in {\mathcal {P}}_{0}$ $\beta (\mathbb {P} ;\nu ,\delta )$ $\mathbb {P} \in {\mathcal {P}}_{1}$ $\mathbb {P} (\delta =0)$

Criterii secvenţiale randomizate

Un test de ipoteză secvenţială randomizat poate fi definit ca o pereche , unde , , şi , sunt funcţii (măsurabile) care au valori între 0 şi 1, . La fiecare etapă (dacă experimentul a atins-o) este interpretată ca probabilitatea de oprire în această etapă, fără observații ulterioare, și - ca probabilitatea de respingere a ipotezei nule dacă s-a produs oprirea în această etapă. $\displaystyle (\psi ,\phi )$ $\psi =(\psi _{1},\psi _{2},\dots ,)$ $\phi =(\phi _{1},\phi _{2},\dots ,)$ $\psi _{n}=\psi _{n}(X_{1},\dots, X_{n})$ $\phi _{n}=\phi _{n}(X_{1},\dots, X_{n})$ $n=1,2,\puncte$ $n\geq 1$ $\psi _{n}(X_{1},\dots, X_{n})$ $\phi _{n}(X_{1},\dots, X_{n})$

$\psi =(\psi _{1},\psi _{2},\dots ,)$ se numește regula de oprire aleatorie și se numește regula de decizie aleatorie. $\phi =(\phi _{1},\phi _{2},\dots ,)$

Dacă toate iau doar valorile 0 (continuare observații) și 1 (oprire), atunci regula de oprire definește un timp de oprire nerandomizat . În mod similar, dacă toată lumea acceptă doar valorile 0 (acceptând ipoteza nulă) și 1 (respingând ipoteza nulă), atunci regula de decizie definește o funcție de decizie nerandomizată: dacă . $\displaystyle \psi _{n)$ $\displaystyle \psi$ $\nu =\min\{n:\psi _{n}(X_{1},\dots, X_{n})=1\)$ $\displaystyle \phi _{n)$ $\displaystyle \phi$ $\displaystyle \delta =\phi _{n)$ $\displaystyle \psi _{n}=1$

Funcția de putere a criteriului la „punct” este definită ca , unde este așteptarea matematică cu privire la . Dacă , atunci este probabilitatea unei erori de tip I. Dacă , atunci probabilitatea unei erori de tip II este , unde . În consecință, dimensiunea medie a eșantionului atunci când se utilizează regula de oprire este definită ca și cum ( în caz contrar ). $(\psi ,\phi )$ ${\mathbb P}$ $\beta (\mathbb {P} ;\psi ,\phi )=\sum _{i=1}^{\infty }\mathbb {E} (1-\psi _{1})\dots ( 1-\psi _{i-1})\psi _{i}\phi _{i}$ $\mathbb {E}$ ${\mathbb P}$ $\mathbb {P} \in {\mathcal {P}}_{0}$ $\beta (\mathbb {P} ;\psi ,\phi )$ $\mathbb {P} \in {\mathcal {P}}_{1}$ $\mathbb {P} (\nu <\infty )-\beta (\mathbb {P} ;\psi ,\phi )$ $\mathbb {P} (\nu <\infty )=\sum _{i=1}^{\infty }\mathbb {E} (1-\psi _{1})\dots (1-\ psi_{i-1})\psi_{i}$ $\psi$ $E\nu =\sum _{i=1}^{\infty }i\mathbb {E} (1-\psi _{1})\dots (1-\psi _{i-1}) \psi_{i}$ $\mathbb {P} (\nu <\infty )=1$ $E\nu=\infty$

Exemplu

Testul secvenţial al raportului de probabilitate (testul Wald )

Link -uri

Shiryaev A. N. Analiză statistică secvenţială. Reguli optime de oprire - M.: Nauka, 1976.
Ghosh, M., Mukhopadhyay, N. și Sen, PK Sequential Estimation, New York: Wiley, 1997.