Regula lui L'Hopital

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 29 septembrie 2021; verificările necesită 13 modificări .

Teorema lui L'Hopital (de asemenea regula Bernoulli - L'Hopital [1] ) este o metodă de găsire a limitelor funcțiilor , dezvăluind incertitudinile formei și . Teorema care justifică metoda afirmă că în anumite condiţii limita raportului funcţiilor este egală cu limita raportului derivatelor lor . $0/0$ $\infty /\infty$

Formulare precisă

Teorema lui L'Hopital:

Dacă: funcțiile cu valori reale sunt diferențiabile într-o vecinătate perforată a punctului , unde este un număr real sau unul dintre simboluri și $f(x),\,g(x)$ $U$ $A$ $A$ $+\infty ,-\infty ,\infty$

$\lim _{{x\to a}}{f(x)}=\lim _{{x\to a}}{g(x)}=0$ sau ; $\infty$
$g'(x)\neq 0$ în ; $U$
există ; $\lim \limits _{{x\to a}}{{\frac {f'(x)}{g'(x)))}$

atunci există . $\lim \limits _{{x\to a}}{{\frac {f(x)}{g(x)}}}=\lim \limits _{{x\to a}}{{\frac { f'(x)}{g'(x)}}}$

Limitele pot fi, de asemenea, unilaterale.

Istorie

O modalitate de a dezvălui acest tip de incertitudine a fost publicată în manualul „Analyse des Inﬁniment Petits” din 1696 de Guillaume Lopital . Metoda a fost comunicată lui Lopital într-o scrisoare de către descoperitorul său Johann Bernoulli . [2]

Exemple

$\lim _{{x\to 0}}{\frac {x^{2}+5x}{3x}}=\lim _{{x\to 0}}{\frac {2x+5}{3} }={\frac {5}{3}}$

$\lim _{{x\to \infty }}{\frac {x^{3}+4x^{2}+7x+9}{x^{3}+3x^{2}}}=\lim _ {{x\to \infty }}{\frac {3x^{2}+8x+7}{3x^{2}+6x}}=\lim _{{x\to \infty }}{\frac { 6x+8}{6x+6}}={\frac {6}{6}}=1$
Aici poți aplica regula L'Hopital de 3 ori, dar poți face altfel. Este necesar să împărțim atât numărătorul, cât și numitorul cu cea mai mare măsură (în cazul nostru, ). Acest exemplu are ca rezultat: $X$ $x^{3}$ $\lim _{{x\to \infty }}{\frac {1+4/x+7/x^{2}+9/x^{3}}{1+3/x}}={\frac {1}{1}}=1$
$\lim _{{x\to +\infty }}{{\frac {e^{{x}}}{x^{{a}}}}}=\lim _{{x\to +\infty } }{{\frac {e^{{x}}}{a\cdot x^{{a-1}}}}}=\ldots =\lim _{{x\to +\infty }}{{\ frac {e^{{x}}}{a!}}}=+\infty$ - aplicarea regulii timpului; $A$
$\lim _{{x\to +\infty }}{{\frac {x^{{a}}}{\ln {x}}}}=\lim _{{x\to +\infty }}{ {\frac {ax^{{a-1}}}{{\frac {1}{x}}}}}=a\cdot \lim _{{x\to +\infty }}{x^{{ a}}}=+\infty$ la ; $a>0$
$\lim _{x\to +\infty }{\frac {\int \limits _{x}^{+\infty }e^{-t^{2}}dt}{x^{-1 }e^{-x^{2}}}}=\lim _{x\to +\infty }{\frac {-e^{-x^{2}}}{-x^{-2}e ^{-x^{2}}(1+2x^{2})}}=\lim _{x\la +\infty }{\frac {x^{2}}{1+2x^{2} ))={\frac {1}{2))$ .

Consecință

Un corolar simplu, dar util al regulii lui L'Hospital, criteriul de diferențiere a funcțiilor, este următorul:

Fie funcția să fie diferențiabilă într-o vecinătate perforată a punctului , iar în acest punct însuși este continuă și are o limită derivată . Atunci funcția este diferențiabilă atât în punctul , cât și (adică derivata este continuă în punctul ). $f(x)$ $A$ $\lim _{x\to a}f'(x)=A$ $f(x)$ $A$ $f'(a)=A$ $f'(x)$ $A$

Pentru a dovedi, este suficient să aplicăm regula lui L'Hopital la relația . ${\frac {f(x)-f(a)}{xa))$

Vezi și

Un analog al regulii lui L'Hopital pentru secvențe de numere reale este Teorema lui Stolz .

Note

↑ Copie arhivată . Data accesului: 14 decembrie 2010. Arhivat din original la 6 februarie 2009. (неопр.)
↑ Paul J. Nahin, An Imaginary Tale: The Story of , p.216 ${\sqrt {-1}}$

Dicționare și enciclopedii	Mare catalană