Limitați de-a lungul filtrului

Limita de-a lungul filtrului ( limită pe baza filtrului, limită pe bază ) este o generalizare a conceptului de limită .

Definiția filtrului

Să fie dată o mulțime . Un sistem nevid de submulțimi ale mulțimii se numește o bază de filtru (bază) a mulțimii dacă $X.$ ${\mathfrak {B}}$ $X$ $X$

pentru orice $B\in {\mathfrak {B}}$ $B\neq \varnothing ;$
pentru orice există astfel încât $B_{1},B_{2}\in {\mathfrak {B)}$ $B_{3}\în {\mathfrak {B)}$ $B_{3}\subset B_{1}\cap B_{2}.$

Definiția limit

Peste tot mai jos se află baza filtrului (baza) setului . ${\mathfrak B}$ $X$

Limita unei funcții numerice

Lasă . Un număr se numește limita de bază a unei funcții dacă $f:X \to \mathbb{R}$ $A\in \mathbb {R}$ $f$ ${\mathfrak {B)),$

pentru orice există astfel încât pentru toate inegalitatea

\varepsilon >0

B\in {\mathfrak {B}}

x\in B

|f(x)-A|<\varepsilon .

Notație limită de bază: $\lim \limits _{\mathfrak {B}}f(x)=A.$

Limita unei funcții cu valori în spațiu metric

Fie un spațiu metric și . Un punct se numește limita unei funcții față de baza dacă $(M,\rho)$ $f:X\la M$ $a\in M$ $f$ ${\mathfrak {B)),$

pentru orice există astfel încât pentru toate inegalitatea

\varepsilon >0

B\in {\mathfrak {B}}

x\in B

\rho (f(x),a)<\varepsilon .

Desemnare: $\lim \limits _{\mathfrak {B}}f(x)=a.$

Limita unei funcții cu valori într-un spațiu topologic

Fie un spațiu topologic și . Un punct se numește limita unei funcții față de baza dacă $(M,{\mathcal {T))$ $f\colon X\la M$ $a\in M$ $f$ ${\mathfrak {B)),$

pentru orice vecinătate a punctului , există astfel încât , adică, includerea este valabilă pentru toți .

V

A

B\in {\mathfrak {B}}

f(B)\subset V

x\in B

f(x)\in V

Desemnare: $\lim \limits _{\mathfrak {B}}f(x)=a.$

Cometariu. Ultima „egalitate” este corectă de utilizat numai în cazurile în care spațiul este Hausdorff . Limita unei funcții cu valori într-un spațiu non-Hausdorff poate fi mai multe puncte diferite simultan (și astfel se încalcă teorema unicității limitei). $(M,{\mathcal {T))$

Exemple

Limită obișnuită

Fie un spațiu topologic și Fie Apoi sistemul de mulțimi $(X,{\mathcal {T}})$ $M\subset X.$ $a \în M'.$

{\mathfrak {B}}=\left\{M\cap {\dot {U}}\equiv M\cap U\setminus \{a\}\mid a\in U\in {\mathcal { T}}\dreapta\}

este baza filtrului multimii si se noteaza cu sau pur si simplu Limita unei functii peste baza multimii se numeste limita functiei intr-un punct si se noteaza cu . $M$ $M\ni x\la a$ $x\la a.$ $x\la a$ $M$ $A$ $\lim \limits _{x\to a}f(x)$

Limite unilaterale

Lăsați și Apoi sistemul setat $M\subset {\mathbb {R}),$ $a\in {\bigl (}M\cap (a,\infty ){\bigr )}'.$

{\mathfrak {B}}=\{(a,a+\delta )\cap M\mid \delta >0\)

este baza filtrului și este notat cu sau Limita se numește limita din dreapta a funcției ca tinde spre $x\la a+$ $x\la a+0.$ $\lim \limits _{x\to a+}f(x)$ $f$ $X$ $A.$

Lăsați și Apoi sistemul setat $M\subset {\mathbb {R}),$ $a\in {\bigl (}M\cap (-\infty,a){\bigr )}'.$

{\mathfrak {B}}=\{(a-\delta,a)\cap M\mid \delta >0\)

este baza filtrului și este notat cu sau Limita se numește limita din stânga a funcției ca tinde spre $x\la a-$ $x\la a-0.$ $\lim \limits _{x\to a-}f(x)$ $f$ $X$ $A.$

Limite la infinit

Lăsați și Apoi sistemul setat $M\subset {\mathbb {R}),$ $\sup M=\infty .$

{\mathfrak {B}}=\{M\cap (T,\infty )\mid T\in \mathbb {R} \}.

este baza filtrului și se notează cu sau Limita se numește limita funcției deoarece tinde spre infinit. $x\la \infty$ $x\la +\infty .$ $\lim \limits _{x\to \infty }f(x)$ $f$ $X$

Lăsați și Apoi sistemul setat $M\subset {\mathbb {R}),$ $\inf M=-\infty .$

{\mathfrak {B}}=\{M\cap (-\infty,T)\mid T\in \mathbb {R} \}.

este baza filtrului și se notează Limita se numește limita funcției ca tinde spre minus-infinit. $x\la -\infty .$ $\lim \limits _{x\to -\infty }f(x)$ $f$ $X$

Limita secvenței

Setați sistemul unde ${\mathfrak {B}}=\{B_{n}\}_{n=1}^{\infty },$

B_{n}=\{n,n+1,n+2,\ldots \}\quad n\in \mathbb {N} ,

este baza filtrului și se notează Funcția se numește succesiune numerică, iar limita este limita acestei secvențe. $n\la \infty .$ $n\in \mathbb {N} \mapsto f_{n}\in \mathbb {R}$ $\lim \limits _{n\to \infty}f_{n)$

Integrala Riemann

Să numim o colecție de puncte o partiție etichetată a unui segment . Numim diametrul partiției un număr. Apoi sistemul de mulțimi $f\colon [a,b]\subset \mathbb {R} \to \mathbb {R} .$ $[a,b]$ $T=\{a=x_{0}<x_{1}<\cdots <x_{n-1}<x_{n}=b,\;x_{n-1}\leqslant \xi _{ n}\leqslant x_{n}\;n\in \mathbb {N} \}.$ $T$ $d(T)=\max \limits _{i\in \{1,\ldots ,n\}}(x_{i}-x_{i-1}).$

{\mathfrak {B}}=\{T\mid d(T)<\delta,\delta >0\)

este o bază a filtrului în spațiul tuturor partițiilor etichetate.Definăm funcția prin egalitate ${\mathfrak {T}}$ $[a,b].$ $S_{f}:{\mathfrak {T}}\to \mathbb {R}$

S_{f}(T)=\sum \limits _{i=1}^{n}f(\xi _{i})(x_{i}-x_{i-1})\quad T \in {\mathfrak {T}.

Atunci limita se numește integrala Riemann a funcției pe interval $\lim \limits _{\mathfrak {B}}S_{f}(T)$ $f$ $[a,b].$

Literatură

Kudryavtsev L. D. Curs de analiză matematică (în două volume), - M . : Școala superioară, vol. II - 584 p. — 1981.