Lucrarea lui Khatri - Rao

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 14 aprilie 2022; verificările necesită 4 modificări .

Produsul Khatri-Rao este operația de multiplicare a matricei definită prin expresia [1] [2] :

\mathbf {A} \ast \mathbf {B} =\left(\mathbf {A} _{ij}\otimes \mathbf {B} _{ij}\right)_{ij)

în care blocul --lea este produsul Kronecker al blocurilor corespunzătoare și cu condiția ca numărul de rânduri și coloane ale ambelor matrice să fie egal. Dimensiunea lucrării este . $ij$ $m_{i}p_{i}\otimes n_{j}q_{j)$ ${\mathbf A}$ $\mathbf {B}$ $\sum _{i}{m_{i}p_{i}}\times \sum _{j}{n_{j}q_{j}}$

De exemplu, dacă matricele și au o dimensiune a blocului de 2 × 2 : ${\mathbf A}$ $\mathbf {B}$

\mathbf {A} =\left[{\begin{array}{c |  c}\mathbf {A} _{11}&\mathbf {A} _{12}\\\hline \mathbf {A} _{21}&\mathbf {A} _{22}\end{array}} \right]=\left[{\begin{array}{cc |  c}1&2&3\\4&5&6\\\hlinia 7&8&9\end{array}}\right]

și ,

\mathbf {B} =\left[{\begin{array}{c |  c}\mathbf {B} _{11}&\mathbf {B} _{12}\\\hline \mathbf {B} _{21}&\mathbf {B} _{22}\end{array}} \right]=\left[{\begin{array}{c |  cc}1&4&7\\\hline 2&5&8\\3&6&9\end{array}}\right]

apoi:

\mathbf {A} \ast \mathbf {B} =\left[{\begin{array}{c |  c}\mathbf {A} _{11}\otimes \mathbf {B} _{11}&\mathbf {A} _{12}\otimes \mathbf {B} _{12}\\\hline \mathbf { A} _{21}\otimes \mathbf {B} _{21}&\mathbf {A} _{22}\otimes \mathbf {B} _{22}\end{array}}\right]=\left [{\begin{matrice}{cc |  cc}1&2&12&21\\4&5&24&42\\\hline 14&16&45&72\\21&24&54&81\end{array}}\right]

Produs coloane Khatri-Rao

Produsul coloanei Kronecker a două matrici este numit și produsul Khatri-Rao. Acest produs presupune că blocurile de matrice sunt coloanele lor. În acest caz , și pentru fiecare : . Rezultatul produsului este o matrice -, fiecare coloană a căreia se obține ca produs Kronecker al coloanelor corespunzătoare ale matricelor și . De exemplu, pentru: $m_{1}=m$ $p_{1}=p$ $n=q$ $j$ $n_{j}=p_{j}=1$ $mp\times n$ ${\mathbf A}$ $\mathbf {B}$

\mathbf {C} =\left[{\begin{array}{c |  c |  c}\mathbf {C} _{1}&\mathbf {C} _{2}&\mathbf {C} _{3}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array} {c |  c |  c}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{array}}\right]

și

\mathbf {D} =\left[{\begin{array}{c |  c |  c }\mathbf {D} _{1}&\mathbf {D} _{2}&\mathbf {D} _{3}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array} {c |  c |  c }1&4&7\\2&5&8\\3&6&9\end{array}}\right]

produs coloană:

\mathbf {C} \ast \mathbf {D} =\left[{\begin{array}{c |  c |  c }\mathbf {C} _{1}\otimes \mathbf {D} _{1}&\mathbf {C} _{2}\otimes \mathbf {D} _{2}&\mathbf {C} _ {3}\otimes \mathbf {D} _{3}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c |  c |  c }1&8&21\\2&10&24\\3&12&27\\4&20&42\\8&25&48\\12&30&54\\7&32&63\\14&40&72\\21&48&81\end{array}}\right]

Versiunea coloană a produsului Khatri-Rao este utilizată în algebra liniară pentru prelucrarea datelor analitice [3] și optimizarea soluțiilor la problema inversării matricei diagonale [4] [5] ; în 1996, s-a propus să fie utilizat în descrierea problemei estimării în comun a unghiului de sosire și a timpului de întârziere al semnalelor într-o rețea de antene digitale [6] , precum și pentru a descrie răspunsul unui radar cu 4 coordonate [ 6]. 7] .

Produsul final

Există un concept alternativ al produsului de matrice, care, spre deosebire de versiunea pe coloană, utilizează împărțirea matricelor în rânduri [8] — produsul de divizare a feței [7] [ 9] [ 10] sau produsul transpus Khatri- Rao ( Transpus în engleză produsul Khatri-Rao ) [11] . Acest tip de înmulțire a matricei se bazează pe produsul rând Kronecker a două sau mai multe matrice cu același număr de rânduri. De exemplu, pentru:

\mathbf {C} =\left[{\begin{array}{cc}\mathbf {C} _{1}\\\hline \mathbf {C} _{2}\\\hline \mathbf { C} _{3}\\\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{ccc}1&2&3\\\hline 4&5&6\\\hline 7&8&9\end{array}}\right]

și

\mathbf {D} =\left[{\begin{array}{c }\mathbf {D} _{1}\\\hline \mathbf {D} _{2}\\\hline \mathbf { D} _{3}\\\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{ccc }1&4&7\\\hline 2&5&8\\\hline 3&6&9\end{array}}\right]

se poate scrie [7] :

{\displaystyle \mathbf {C} \bullet \mathbf {D} =\left[{\begin{array}{c }\mathbf {C} _{1}\otimes \mathbf {D} _{1}\\ \hline \mathbf {C} _{2}\otimes \mathbf {D} _{2}\\\hline \mathbf {C} _{3}\otimes \mathbf {D} _{3}\\\end {array}}\right]=\left[{\begin{array}{ccccccccc }1&4&7&2&8&14&3&12&21\\\hline 8&20&32&10&25&40&12&30&48\\\hline 21&42&7&2&8&14&3&12&21\\\hline 8&20&32&10&25&40&12&30&48\\\hline 21&42&7&2&8&14&3&12&21]

Proprietăți de bază

Transpunere (1996 [7] [9] [12] ):

\left(\mathbf {A} \bullet \mathbf {B} \right)^{\textsf {T}}={\textbf {A}}^{\textsf {T}}\ast \mathbf { B} ^{\textsf {T}}

Comutativitate și operație asociativă [7] [9] [12] :

{\begin{aliniat}\mathbf {A} \bullet (\mathbf {B} +\mathbf {C} )&=\mathbf {A} \bullet \mathbf {B} +\mathbf {A} \ bullet \mathbf {C} ,\\(\mathbf {B} +\mathbf {C} )\bullet \mathbf {A} &=\mathbf {B} \bullet \mathbf {A} +\mathbf {C} \ bullet \mathbf {A} ,\\(k\mathbf {A} )\bullet \mathbf {B} &=\mathbf {A} \bullet (k\mathbf {B} )=k(\mathbf {A} \ bullet \mathbf {B} ),\\(\mathbf {A} \bullet \mathbf {B} )\bullet \mathbf {C} &=\mathbf {A} \bullet (\mathbf {B} \bullet \mathbf {C} ),\\\end{aliniat}}

unde , și sunt matrici și este un scalar, ${\mathbf A}$ ${\mathbf A}$ $\mathbf {C}$ $k$

$a\bullet \mathbf {B} =\mathbf {B} \bullet a$ , [12] unde este un vector cu numărul de elemente egal cu numărul de rânduri ale matricei , $A$ $\mathbf {B}$

Proprietatea produsului mixt (1997 [12] ):

(\mathbf {A} \bullet \mathbf {B} )\left(\mathbf {A} ^{\textsf {T}}\ast \mathbf {B} ^{\textsf {T}}\right )=\left(\mathbf {A} \mathbf {A} ^{\textsf {T}}\right)\circ \left(\mathbf {B} \mathbf {B} ^{\textsf {T}}\ dreapta)

(\mathbf {A} \bullet \mathbf {B} )(\mathbf {C} \ast \mathbf {D} )=(\mathbf {A} \mathbf {C} )\circ (\mathbf { B} \mathbf {D} )

[10] ,

(\mathbf {A} \bullet \mathbf {B} \bullet \mathbf {C} \bullet \mathbf {D} )(\mathbf {L} \ast \mathbf {M} \ast \mathbf {N } \ast \mathbf {P} )=(\mathbf {A} \mathbf {L} )\circ (\mathbf {B} \mathbf {M} )\circ (\mathbf {C} \mathbf {N} ) \circ (\mathbf {D} \mathbf {P} )

[11] [13 ]

(\mathbf {A} \ast \mathbf {B} )^{\textsf {T)}(\mathbf {A} \ast \mathbf {B} )=(\mathbf {A} ^{\textsf {T}}\mathbf {A} )\circ (\mathbf {B} ^{\textsf {T}}\mathbf {B} )

[14] ,

unde denotă produsul Hadamard . $\circ$

De asemenea, sunt îndeplinite următoarele proprietăți:

$(\mathbf {A} \circ \mathbf {B} )\bullet (\mathbf {C} \circ \mathbf {D} )=(\mathbf {A} \bullet \mathbf {C} )\circ (\mathbf {B} \bullet \mathbf {D} )$ [12] ,
$\mathbf {A} \otimes (\mathbf {B} \bullet \mathbf {C} )=(\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )\bullet \mathbf {C}$ [7] ,
$(\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )(\mathbf {C} \ast \mathbf {D} )=(\mathbf {A} \mathbf {C} )\ast (\mathbf { B} \mathbf {D} )$ [14] ,
$(\mathbf {A} \bullet \mathbf {B} )(\mathbf {C} \otimes \mathbf {D} )=(\mathbf {A} \mathbf {C} )\bullet (\mathbf { B} \mathbf {D} )$ [13] ,

$(\mathbf {A} \bullet \mathbf {L} )(\mathbf {B} \otimes \mathbf {M} )\dots (\mathbf {C} \otimes \mathbf {S} )=(\ mathbf {A} \mathbf {B} \dots \mathbf {C} )\bullet (\mathbf {L} \mathbf {M} ...\mathbf {S} )$ ,
$c^{\textsf {T}}\bullet d^{\textsf {T}}=c^{\textsf {T}}\otimes d^{\textsf {T}}$ [12] ,
$c\ast d=c\otimes d$ , unde și sunt vectori de dimensiune consistentă, $c$ $d$
$(\mathbf {A} \ast c^{\textsf {T)}) d=(\mathbf {A} \ast d^{\textsf {T)})c$ [15] ,, $d^{\textsf {T}}(c\bullet \mathbf {A} ^{\textsf {T}})=c^{\textsf {T}}(d\bullet \mathbf {A} ^ {\textsf {T)))$
$(\mathbf {A} \bullet \mathbf {B} )(c\otimes d)=(\mathbf {A} c)\circ (\mathbf {B} d)$ [16] , undeșisunt vectori de dimensiune consistentă (urmează din proprietățile 3 și 8), $c$ $d$
$(\mathbf {A} \bullet \mathbf {B} )(\mathbf {M} \mathbf {N} c\otimes \mathbf {Q} \mathbf {P} d)=(\mathbf {A} \mathbf {M} \mathbf {N} c)\circ (\mathbf {B} \mathbf {Q} \mathbf {P} d)$ ,
${\mathcal {W}}(C^{(1)}x\star C^{(2)}y)=({\mathcal {W}}C^{(1)}\bullet {\ mathcal {W}}C^{(2)})(x\otimes y)={\mathcal {W}}C^{(1)}x\circ {\mathcal {W}}C^{(2) }y$ ,

unde este matricea transformării Fourier discrete , este simbolul de convoluție vectorială (identitatea rezultă din proprietățile schiței de referință [17] ), ${\mathcal {W}}$ $\star$

$\mathbf {A} \bullet \mathbf {B} =(\mathbf {A} \otimes \mathbf {1_ {c}} ^{\textsf {T}})\circ (\mathbf {1_{k )) ^{\textsf {T}}\otimes \mathbf {B} )$ [18] , unde esteo matrice,esteo matrice, , sunt vectori aiși, respectiv, unii, $\mathbf {A}$ $r\times c$ $\mathbf {B}$ $r\times k$ $\mathbf {1_{c}}$ $\mathbf {1_{k}}$ $c$ $k$
$\mathbf {M} \bullet \mathbf {M} =(\mathbf {M} \otimes \mathbf {1} ^{\textsf {T)})\circ (\mathbf {1} ^{\textsf {T}}\otimes \mathbf {M} )$ [19] , unde esteo matrice,este produsul Hadamard șieste un vector deunități. $\mathbf {M}$ $r\times c$ $\circ$ $\mathbf {1}$ $c$
$\mathbf {M} \bullet \mathbf {M} =\mathbf {M} [\circ ](\mathbf {M} \otimes \mathbf {1} ^{\textsf {T))}$ , unde este simbolul produsului final penetrant al matricelor. $[\circ ]$

Prin analogie, , unde este o matrice, este o matrice, $\mathbf {P} \ast \mathbf {N} =(\mathbf {P} \otimes \mathbf {1_ {c}} )\circ (\mathbf {1_ {k}} \otimes \mathbf {N } )$ $\mathbf {P}$ $c\times r$ $\mathbf {N}$ $k\times r$

$\mathbf {W_ {d)} \mathbf {A} =\mathbf {w} \bullet \mathbf {A}$ [12] ,
$vec((\mathbf {w} ^{\textsf {T}}\ast \mathbf {A} )\mathbf {B} )=(\mathbf {B} ^{\textsf {T}}\ast \mathbf {A} )\mathbf {w}$ [10] ,
$vec(\mathbf {A} (\mathbf {w} \bullet \mathbf {B} ))=(\mathbf {B} ^{\textsf {T}}\ast \mathbf {A} )\mathbf {w}$ [11] ,
$vec(\mathbf {A} ^{\textsf {T}}\mathbf {W_{d}} \mathbf {A} )=(\mathbf {A} \bullet \mathbf {A} )^{\ textsf {T}}\mathbf {w}$ [19] ,
$vec(\mathbf {A} \mathbf {W_ {d}} \mathbf {A} ^{\textsf {T}})=(\mathbf {A} ^{\textsf {T}}\bullet \ mathbf {A} ^{\textsf {T)))^{\textsf {T}}\mathbf {w} =(\mathbf {A} \ast \mathbf {A} )\mathbf {w}$ ,

unde este un vector format din elementele diagonale ale matricei , este operația de formare a unui vector dintr-o matrice prin plasarea coloanelor sale una sub alta. $\mathbf {w}$ $\mathbf {W_{d}}$ $vec(\mathbf {A} )$ $\mathbf {A}$

Proprietatea de absorbție a produsului Kronecker:

(\mathbf {A} \bullet \mathbf {L} )(\mathbf {B} \otimes \mathbf {M} )...(\mathbf {C} \otimes \mathbf {S} )(\ mathbf {K} \ast \mathbf {T} )=(\mathbf {A} \mathbf {B} ...\mathbf {C} \mathbf {K} )\circ (\mathbf {L} \mathbf {M } ...\mathbf {S} \mathbf {T} )

[10] [13]

(\mathbf {A} \bullet \mathbf {L} )(\mathbf {B} \otimes \mathbf {M} )...(\mathbf {C} \otimes \mathbf {S} )(c \otimes d)=(\mathbf {A} \mathbf {B} ...\mathbf {C} c)\circ (\mathbf {L} \mathbf {M} ...\mathbf {S} d)

(\mathbf {A} \bullet \mathbf {L} )(\mathbf {B} \otimes \mathbf {M} )...(\mathbf {C} \otimes \mathbf {S} )(\ mathbf {P} c\otimes \mathbf {Q} d)=(\mathbf {A} \mathbf {B} ...\mathbf {C} \mathbf {P} c)\circ (\mathbf {L} \ mathbf {M} ...\mathbf {S} \mathbf {Q} d)

unde și sunt vectori de dimensiune consistentă. $c$ $d$

De exemplu [16] :

{\begin{aliniat}\\&\quad \left({\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\1&0\end{bmatrix}}\bullet {\begin{bmatrix}1&0\\1&0\\ 0&1\end{bmatrix}}\right)\left({\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}}\otimes {\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix} }\right)\left({\begin{bmatrix}\sigma _{1}&0\\0&\sigma _{2}\\\end{bmatrix))\otimes {\begin{bmatrix}\rho _{1 }&0\\0&\rho _{2}\\\end{bmatrix}}\right)\left({\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{bmatrix}}\ast { \begin{bmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{bmatrix}}\right)\\[5pt]&\quad =\left({\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\1&0\ end{bmatrix}}\bullet {\begin{bmatrix}1&0\\1&0\\0&1\end{bmatrix}}\right)\left({\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}} {\begin{bmatrix}\sigma _{1}&0\\0&\sigma _{2}\\\end{bmatrix)){\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{bmatrix }}\,\otimes \,{\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\rho _{1}&0\\0&\rho _{2}\\ \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{bmatrix}}\right)\\[5pt]&\quad ={\begin{bmatrix}1&0\\0&1 \\1&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bm  atrix}}{\begin{bmatrix}\sigma _{1}&0\\0&\sigma _{2}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\ end{bmatrix}}\,\circ \,{\begin{bmatrix}1&0\\1&0\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}}{\ începe{bmatrix}\rho _{1}&0\\0&\rho _{2}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{bmatrix}} .\end{aliniat}}

Teorema [16]

Dacă , unde sunt incluziuni independente ale matricei care conține rânduri astfel încât și ,

M=T^{(1)}\bullet \dots \bullet T^{(c))

T^{(1)},\dots,T^{(c))

T

T_{1},\dots,T_{m}\in \mathbb {R} ^{d)

{\displaystyle E[(T_{1}x)^{2}]=\|x\|_{2}^{2))

E[(T_{1}x)^{p}]^{1/p}\leq {\sqrt {ap}}\|x\|_{2}

apoi cu probabilitate pentru orice vector dacă numărul de rânduri

{\displaystyle |\|Mx\|_{2}-\|x\|_{2}|<\varepsilon \|x\|_{2))

1-\delta

X

m=(4a)^{2c}\varepsilon ^{-2}\log 1/\delta +(2ae)\varepsilon ^{-1}(\log 1/\delta )^{c)

În special, dacă elementele matricei sunt numere , se poate obține , care, pentru valori mici, este în concordanță cu valoarea limită a lemei distribuției Johnson-Lindenstrauss . $T$ $\pm 1$ $m=O(\varepsilon ^{-2}\log 1/\delta +\varepsilon ^{-1}({\tfrac {1}{c))\log 1/\delta )^{c} )$ $\varepsilon$ $m=O(\varepsilon ^{-2}\log 1/\delta )$

Blocați produsul final

Pentru matrice bloc cu același număr de coloane în blocurile respective:

\mathbf {A} =\left[{\begin{array}{c |  c}\mathbf {A} _{11}&\mathbf {A} _{12}\\\hline \mathbf {A} _{21}&\mathbf {A} _{22}\end{array}} \dreapta]

și

\mathbf {B} =\left[{\begin{array}{c |  c}\mathbf {B} _{11}&\mathbf {B} _{12}\\\hline \mathbf {B} _{21}&\mathbf {B} _{22}\end{array}} \dreapta]

conform definiției [7] , produsul final al blocului poate fi scris astfel: $\mathbf {A} [\bullet ]\mathbf {B}$

\mathbf {A} [\bullet ]\mathbf {B} =\left[{\begin{array}{c |  c}\mathbf {A} _{11}\bullet \mathbf {B} _{11}&\mathbf {A} _{12}\bullet \mathbf {B} _{12}\\\hline \mathbf { A} _{21}\bullet \mathbf {B} _{21}&\mathbf {A} _{22}\bullet \mathbf {B} _{22}\end{array}}\right]

În mod similar, pentru un produs final transpus bloc (sau un produs coloană bloc Khatri - Rao ) din două matrice cu același număr de coloane în blocurile corespunzătoare, următoarea relație este valabilă [7] : $\mathbf {A} [\ast ]\mathbf {B}$

\mathbf {A} [\ast ]\mathbf {B} =\left[{\begin{array}{c |  c}\mathbf {A} _{11}\ast \mathbf {B} _{11}&\mathbf {A} _{12}\ast \mathbf {B} _{12}\\\hline \mathbf { A} _{21}\ast \mathbf {B} _{21}&\mathbf {A} _{22}\ast \mathbf {B} _{22}\end{array}}\right]

Proprietatea de transpunere se realizează [13] :

\left(\mathbf {A} [\ast ]\mathbf {B} \right)^{\textsf {T}}={\textbf {A}}^{\textsf {T}}[\bullet ]\mathbf {B} ^{\textsf {T}}

Aplicații

Familia produselor finale ale matricelor este utilizată în teoria tensor-matrice a rețelelor de antene digitale pentru sisteme de inginerie radio [11] .

Produsul final a devenit larg răspândit în sistemele de învățare automată, procesarea statistică a datelor mari [16] . Vă permite să reduceți cantitatea de calcule atunci când implementați metoda de reducere a dimensionalității datelor, numită schiță tensorală [16] , precum și transformarea rapidă Johnson-Lindenstrauss [16] . În acest caz, se realizează tranziția de la matricea de proiectare originală la produsul Hadamard , care operează cu matrici de o dimensiune mai mică. Eroarea de aproximare a datelor cu dimensiuni mari bazate pe produsul final al matricelor corespunde lemei de distorsiune mică [16] [20] . În acest context , ideea produsului final poate fi folosită pentru a rezolva problema de confidențialitate diferențială [ 15 ] . În plus, calcule similare au fost aplicate pentru a forma tensori de co-ocurență în procesarea limbajului natural și hipergrafe de similaritate de imagini [21] .

Produsul final este utilizat pentru aproximarea P-spline [18] , construind modele liniare generalizate de matrice de date (GLAM) în timpul prelucrării lor statistice [19] și poate fi folosit pentru a implementa eficient metoda nucleului de învățare automată , precum și pentru a studia interacțiunea genotipurilor cu mediul. [22]

Vezi și

Schița tensorului[ clarifica ]
Lema de distorsiune mică[ clarifica ]

Note

↑ Khatri CG, CR Rao . Soluții la unele ecuații funcționale și aplicațiile lor la caracterizarea distribuțiilor de probabilitate (engleză) // Sankhya : journal. - 1968. - Vol. 30 . - P. 167-180 . Arhivat din original pe 23 octombrie 2010.
↑ Zhang X; Yang Z & Cao C. (2002), Inegalități care implică produse Khatri–Rao ale matricilor semidefinite pozitive, Note electronice de matematică aplicată vol. 2: 117–124
↑ Vezi, de exemplu, HD Macedo și JN Oliveira. O abordare algebrică liniară a OLAP . Formal Aspects of Computing, 27(2):283-307, 2015.
↑ Lev-Ari, Hanoch. Soluție eficientă a ecuațiilor matriceale liniare cu aplicare la procesarea matricei de antene multistatice // Comunicații în informații și sisteme. - 2005. - 1 ianuarie ( vol. 05 , nr. 1 ). - S. 123-130 . — ISSN 1526-7555 . - doi : 10.4310/CIS.2005.v5.n1.a5 .
↑ Masiero, B.; Nascimento, VH Revizuirea Transformării matricei Kronecker // Litere de procesare a semnalului IEEE. - 2017. - 1 mai ( vol. 24 , nr. 5 ). - S. 525-529 . — ISSN 1070-9908 . - doi : 10.1109/LSP.2017.2674969 . - Cod biblic .
↑ Vanderveen, MC, Ng, BC, Papadias, CB și Paulraj, A. (n.d.). Estimarea unghiului comun și a întârzierii (JADE) pentru semnale în medii cu mai multe căi . Înregistrarea conferinței celei de-a 30-a Conferințe Asilomar privind semnalele, sistemele și calculatoarele. — DOI:10.1109/acssc.1996.599145
↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 Slyusar, VI (27 decembrie 1996). „Produse finale în matrice în aplicații radar” (PDF) . Radioelectronică și sisteme de comunicații.– 1998, voi. 41; Numărul 3 : 50-53. Arhivat (PDF) din original pe 27.07.2020 . Consultat 2020-07-27 . Parametrul depreciat folosit |deadlink=( ajutor )
↑ Anna Esteve, Eva Boj & Josep Fortiana (2009): Interaction Terms in Distance-Based Regression, Communications in Statistics - Theory and Methods, 38:19, P. 3501 [1] Arhivat 26 aprilie 2021 la Wayback Machine
↑ 1 2 3 Slyusar, VI Model analitic al rețelei de antene digitale pe baza produselor matricei de divizare a feței // Proc . ICATT-97, Kiev: jurnal. - 1997. - 20 mai. - P. 108-109 .
↑ 1 2 3 4 Slyusar, VI (1999). „O familie de produse faciale ale matricelor și proprietățile sale” (PDF) . Cybernetics and Systems Analysis C/C of Cybernetika I Sistemnyi Analiz . 35 (3): 379-384. DOI : 10.1007/BF02733426 . Arhivat din original (PDF) pe 25 ianuarie 2020 . Preluat la 12 iulie 2020 .
↑ 1 2 3 4 Minochkin A. I., Rudakov V. I., Slyusar V. I. Fundamentele cercetării militare-tehnice. Teorie și aplicații. Volum. 2. Sinteza mijloacelor de suport informaţional pentru arme şi echipamente militare // Ed. A. P. Kovtunenko. - Kiev: „Granmna”. - 2012. C. 7 - 98; 354 - 521 (2012). Preluat la 12 iulie 2020. Arhivat din original la 25 ianuarie 2020. (nedefinit)
↑ 1 2 3 4 5 6 7 Slyusar, VI (15.09.1997). „Noi operațiuni de produs matrice pentru aplicații de radare” (PDF) . Proc. Probleme directe și inverse ale teoriei undelor electromagnetice și acustice (DIPED-97), Lviv. : 73-74. Arhivat (PDF) din original pe 25.01.2020 . Accesat 2020-07-12 . Parametrul depreciat folosit |deadlink=( ajutor )
↑ 1 2 3 4 5 Vadym Slyusar. Operații noi Matrix pentru DSP (Prelegere). Aprilie 1999. - DOI: 10.13140/RG.2.2.31620.76164/1
↑ 1 2 C. Radhakrishna Rao . Estimarea variațiilor heteroscedastice în modele liniare.// Jurnalul Asociației Americane de Statistică, voi. 65, nr. 329 (mar. 1970), p. 161-172
↑ 1 2 Kasiviswanathan, Shiva Prasad, et al. „Prețul lansării private a tabelelor de urgență și spectrele matricelor aleatorii cu rânduri corelate”. Proceedings of the fourty-second ACM simpozion on theory of computing. 2010.
↑ 1 2 3 4 5 6 7 Ahle, Thomas; Knudsen, Jakob Schiță tensorului aproape optimă . [ [2] ] (3 septembrie 2019). Preluat la 11 iulie 2020. Arhivat din original la 14 iulie 2020. (nedefinit)
↑ Ninh, Pham; Rasmus, Pagh (2013). Nuclee polinomiale rapide și scalabile prin hărți de caracteristici explicite . Conferința internațională SIGKDD privind descoperirea cunoștințelor și extragerea datelor. Asociația pentru Mașini de Calcul. DOI : 10.1145/2487575.2487591 .
↑ 12 Eilers , Paul H.C.; Marx, Brian D. (2003). „Calibrare multivariată cu interacțiunea temperaturii folosind regresia semnalului penalizat bidimensional”. Chimiometrie și sisteme inteligente de laborator . 66 (2): 159&ndash, 174. DOI : 10.1016/S0169-7439(03)00029-7 .
↑ 1 2 3 Currie, ID; Durban, M.; Eilers, PHC (2006). „Modele de matrice liniare generalizate cu aplicații la netezire multidimensională”. Jurnalul Societății Regale de Statistică . 68 (2): 259&ndash, 280. DOI : 10.1111/j.1467-9868.2006.00543.x .
↑ Ahle, Thomas; Kapralov, Michael; Knudsen, Iacov; Pagh, Rasmus; Velingker, Ameya; Woodruff, David; Zandieh, Amir (2020). Schița neglijabilă a nucleelor polinomiale de grad înalt . Simpozion ACM-SIAM despre algoritmi discreti. Asociația pentru Mașini de Calcul. DOI : 10.1137/1.9781611975994.9 .
↑ Bryan Bischoff. Tensori de co-ocurență de ordin superior pentru hipergrafe prin divizarea feței. Publicat 15 februarie 2020, Matematică, Informatică, ArXiv Arhivat 25 noiembrie 2020 la Wayback Machine
↑ Johannes WR Martini, Jose Crossa, Fernando H. Toledo, Jaime Cuevas. Pe produsele Hadamard și Kronecker în structuri de covarianță pentru interacțiunea genotip x mediu.//Genomul plantelor. 2020;13:e20033. Pagina 5. [3]

Literatură

Khatri CG, CR Rao. Soluții la unele ecuații funcționale și aplicațiile lor la caracterizarea distribuțiilor de probabilitate (engleză) // Sankhya : journal. - 1968. - Vol. 30 . - P. 167-180 . Arhivat din original pe 23 octombrie 2010.
Zhang X; Yang Z & Cao C. (2002), Inegalități care implică produse Khatri–Rao ale matricilor semidefinite pozitive, Note electronice de matematică aplicată vol. 2: 117–124
Matrix Algebra și aplicațiile sale la statistică și econometrie./CR Rao cu M. Bhaskara Rao. — World Scientific. - 1998. - P. 216.