Proporție (matematică)

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 14 aprilie 2022; verificarea necesită 1 editare .

Proporția ( latină proportio „proporționalitate, uniformitate a părților; un anumit raport de părți între ele”) este egalitatea raporturilor a două [sau mai multe] perechi de numere și , adică egalitatea formei , sau, în alte notații, egalitate (deseori citită ca: „ se aplică la în același mod în care se aplică la „). În acest caz, și sunt numite extreme , și - membri medii ai proporției. Această proporție este numită și geometrică , a nu se confunda cu proporțiile aritmetice și armonice . $a, b$ $c, d$ $a:b=c:d$ $\ {\frac ab}={\frac cd}$ $A$ $b$ $c$ $d$ $A$ $d$ $b$ $c$ .

Proprietățile de bază ale proporțiilor

Inversarea proporției. Dacă , atunci $\ {\frac ab}={\frac cd}$ $\ {\frac ba}={\frac dc}$
Înmulțirea membrilor extremi ai proporției cu cei din mijloc (în cruce). Dacă , atunci . Cu alte cuvinte, produsul termenilor extremi este egal cu produsul termenilor de mijloc. Această proprietate se numește proprietatea de bază a proporției. $\ {\frac ab}={\frac cd}$ $\ad=bc$
Permutarea termenilor medii și extremi. Dacă , atunci $\ {\frac ab}={\frac cd}$

\ {\frac ac}={\frac bd}

(permutarea membrilor mijlocii ai proporției),

\ {\frac db}={\frac ca}

(permutarea membrilor extremi ai proporției).

Proporții în creștere și scădere. Dacă , atunci $\ {\frac ab}={\frac cd}$

\ {\dfrac {a+b}{b}}={\dfrac {c+d}{d}}

(creștere proporțională),

\ {\dfrac {ab}{b}}={\dfrac {cd}{d}}

(proporția de reducere).

Realizarea de proporții prin adunarea și scăderea. Dacă , atunci $\ {\frac ab}={\frac cd}$

\ {\dfrac {a+c}{b+d}}={\frac ab}={\frac cd}

(întocmirea unei proporții prin adunare),

\ {\dfrac {ac}{bd))={\frac ab}={\frac cd}

(întocmirea unei proporții prin scădere). Dovada (proporționare prin adunare și scădere)

Vom dovedi pentru plus. Exprimăm prin termenii rămași ai proporției: . Apoi: $c$ $c={\frac {ad}{b)}$

{\frac {a+c}{b+d}}={\frac {a+ad/b}{b+d}}={\frac {(ab+ad)/b}{b+d ))={\frac {a(b+d)}{b(b+d)))={\frac {a}{b)).

Pentru scădere, dovada este similară. ■

Istorie

Prima definiție cunoscută a proporțiilor egale a fost dată ca o egalitate a scăderilor succesive [1] , în limbajul modern aceasta putând fi exprimată ca o egalitate a fracțiilor continue pentru rapoarte de mărimi. [2] Mai târziu, Eudoxus din Cnidus a simplificat definiția, egalitatea proporțiilor a fost definită de el ca îndeplinirea simultană a uneia dintre cele trei perechi de rapoarte $a:b=c:d$

$m\cdot a>n\cdot b$ și , $m\cdot c>n\cdot d$
$m\cdot a=n\cdot b$ și , $m\cdot c=n\cdot d$
$m\cdot a<n\cdot b$ și $m\cdot c<n\cdot d$

pentru orice pereche de numere naturale și . Această definiție este dată în Elementele lui Euclid . $m$ $n$

Odată cu apariția numerelor reale, nu a fost nevoie de o teorie specială a proporțiilor; matematicienii antici nu au considerat proporțiile lungimii drept numere. Definiția lui Eudoxus, dată într-o formă ceva mai abstractă, a fost folosită mai târziu în definiția lui Dedekind a numerelor reale în termeni de tăieturi .

Definiții înrudite

Proporția aritmetică

Egalitatea a două diferențe este uneori numită proporție aritmetică [3] . $ab=cd$

Proporția armonică

Dacă proporția geometrică are membrii mijlocii egali, iar ultimul este diferența dintre primul și mijlocul, o astfel de proporție se numește armonică :. În acest caz, descompunerea în suma a doi termeni se numește diviziune armonică sau secțiunea de aur [4] . $a:b=b:(ab)$ $A$ $b$ $ab$

Probleme pentru regula triplă

Conținutul sarcinii pentru o regulă triplă simplă include două cantități legate de o dependență proporțională, în timp ce sunt date două valori ale unei cantități și una dintre valorile corespunzătoare ale celeilalte cantități, dar este necesar pentru a-i găsi a doua valoare.

Sarcinile pentru o regulă triplă complexă sunt numite sarcini în care, pentru o serie de mai multe (mai mult de două) mărimi proporționale, este necesar să se găsească valoarea uneia dintre ele corespunzătoare unei alte serii de valori date de mărimi [5] [6] .

Vezi și

Proporționalitate

Note

↑ Topeka din Aristotel
↑ Von Fritz, Kurt . „Descoperirea incomensurabilității de către Hippasus din Metapontum”. Analele matematicii. - 1945. - S. 242-264.
↑ Proporții aritmetice // Dicționar enciclopedic al lui Brockhaus și Efron : în 86 de volume (82 de volume și 4 suplimentare). - Sankt Petersburg. , 1890-1907.
↑ Proporția armonică // Marea Enciclopedie Sovietică : [în 30 de volume] / cap. ed. A. M. Prohorov . - Ed. a 3-a. - M . : Enciclopedia Sovietică, 1969-1978.
↑ Manual de matematică elementară . Preluat la 8 ianuarie 2018. Arhivat din original la 8 ianuarie 2018. (nedefinit)
↑ Rezolvarea problemelor pe o regulă triplă simplă. Modalități de rezolvare . Preluat la 8 ianuarie 2018. Arhivat din original la 8 ianuarie 2018. (nedefinit)

Literatură

Van der Waerden, B. L. Awakening Science. Matematica Egiptului Antic, Babilonului și Greciei. / per. cu un gol I. N. Veselovsky. — M .: GIFML, 1959.