Transport de sarituri cu lungime variabila de sarituri

Hopping-ul de lungime variabilă este un model utilizat pentru a descrie transportul purtătorului într-un semiconductor dezordonat sau solid amorf prin săritura pe un interval extins de temperatură [1] . Conductibilitatea are o dependență caracteristică de temperatură:

\sigma =\sigma _{0}e^{-(T_{0}/T)^{\beta }}~,

Unde:

\beta

este un parametru în funcţie de modelul considerat.

Model Mott

În modelul lui Mott sunt luate în considerare săriturile cu lungime variabilă. Acest model descrie conductivitatea la temperatură scăzută în sisteme foarte dezordonate cu stări localizate ale purtătorilor de sarcină [2] și are o dependență caracteristică de temperatură:

\sigma =\sigma _{0}e^{-(T_{0}/T)^{1/4}}

pentru conductivitatea unei probe tridimensionale (c = 1/4) și se generalizează la problema -dimensională: $\beta$ $d$

\sigma =\sigma _{0}e^{-(T_{0}/T)^{1/(d+1)))~.

Conducerea saltului la temperaturi scăzute este de mare interes datorită economiilor pe care le-ar putea face industria semiconductoarelor dacă ar putea înlocui dispozitivele monocristaline cu materiale amorfe [3] .

Concluzie

Lucrarea originală a lui Mott introduce ipoteza simplificatoare că energia de salt este invers proporțională cu cubul distanței de salt (în cazul 3D). Ulterior s-a arătat că această presupunere nu este necesară [4] . În articolul original, s-a arătat că probabilitatea săriturii între stările localizate la o temperatură dată depinde de doi parametri: - distanța dintre noduri și - diferența lor între energiile acestor stări. Apsley și Hughes au observat că într-un sistem cu adevărat amorf, aceste variabile sunt aleatorii și independente și, prin urmare, pot fi combinate într-un singur parametru, intervalul dintre două noduri, care determină probabilitatea unui salt. $R$ $W$ $\textstyle {\mathcal {R)}$

Mott a arătat că probabilitatea de a sări între două stări la distanță și diferența de energie este: $\textstyle R$ $W$

P\sim \exp \left[-2\alpha R-{\frac {W}{kT}}\right]~,

Unde:

\alpha^{-1}

este lungimea de dezintegrare pentru o funcție de undă localizată asemănătoare hidrogenului.

Se presupune că trecerea la o stare de energie superioară este un proces care limitează frecvența hop. Acum să definim , intervalul dintre două stări, deci . Stările pot fi privite ca puncte într-o matrice aleatorie cu patru dimensiuni (trei coordonate spațiale și o coordonată energetică), „distanța” dintre ele fiind determinată de intervalul . $\textstyle {\mathcal {R}}=2\alpha R+W/kT$ $\textstyle P\sim \exp(-{\mathcal {R))}$ $\textstyle {\mathcal {R)}$

Conductivitatea este rezultatul multor serii de hopuri prin această matrice patru-dimensională și, din moment ce stropirea pe distanțe scurte este favorizată, „distanța” medie dintre cei mai apropiați vecini dintre state este cea care determină conductivitatea generală. Astfel, conductivitatea are forma:

\sigma \sim \exp(-{\overline {\mathcal {R))}_{nn})~,

Unde:

\textstyle {\overline {\mathcal {R}}}_{nn}

este intervalul mediu al vecinilor cei mai apropiați.

Prin urmare, problema este de a calcula această valoare. Primul pas este să obțineți , numărul total de stări din intervalul unei stări inițiale la nivelul Fermi. Pentru -dimensiuni și în anumite ipoteze, aceasta se dovedește a fi: $\textstyle {\mathcal {N}}({\mathcal {R}})$ $\textstyle {\mathcal {R)}$ $d$

{\mathcal {N}}({\mathcal {R}})=K{\mathcal {R}}^{d+1}~,

Unde:

\textstyle K={\frac {N\pi kT}{3\times 2^{d}\alpha ^{d)}}~.

Ipotezele specifice sunt că este mult mai mic decât intervalul de bandă și mai mare decât distanța interatomică. $\textstyle {\overline {\mathcal {R}}}_{nn}$

Atunci probabilitatea ca o stare cu un interval să fie cel mai apropiat vecin în spațiul cu patru dimensiuni (sau, în general, spațiul ( )-dimensional): $\textstyle {\mathcal {R)}$ $d+1$

P_{nn}({\mathcal {R}})={\frac {\partial {\mathcal {N}}({\mathcal {R}})}{\partial {\mathcal {R}} }}\exp[-{\mathcal {N}}({\mathcal {R}})]

este distribuția vecinilor cei mai apropiați.

Pentru cazul -dimensional atunci: $d$

{\overline {\mathcal {R}}}_{nn}=\int _{0}^{\infty }(d+1)K{\mathcal {R}}^{d+1}\ exp(-K{\mathcal {R}}^{d+1})d{\mathcal {R}}~.

Această integrală poate fi evaluată făcând o simplă modificare a funcției gamma , $\textstyle t=K{\mathcal {R}}^{d+1}$ $\textstyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}\,\mathrm {d} t$

După ceva algebră, aceasta dă:

{\overline {\mathcal {R)}}_{nn}={\frac {\Gamma ({\frac {d+2}{d+1)}}}K^{\frac {1 {d+1}}}}}

si de aici ca:

\sigma \propto \exp \left(-T^{-{\frac {1}{d+1)}}\right)~.

Densitatea neconstantă a stărilor

Când densitatea stărilor este neconstantă (legea puterii impare N(E)), conductanța Mott se recuperează așa cum se arată în această lucrare .

Efros-Shklovsky salturi de lungime variabilă

Hopping-ul de lungime variabilă Efros–Shklovsky (ES) este un model de conducere care ia în considerare decalajul Coulomb , un mic salt în densitatea stărilor în apropierea nivelului Fermi datorită interacțiunilor dintre electronii localizați. [5] A fost numit după Alexei L. Efros și Boris Shklovsky , care au propus-o în 1975.

Luarea în considerare a decalajului Coulomb modifică dependența de temperatură la:

\sigma =\sigma _{0}e^{-(T_{0}/T)^{1/2))

pentru toate dimensiunile (adică = 1/2). [6] [7] $\beta$

Note

↑ Hill, R.M. (16.04.1976). Hopping variabil. Physica Status Solidi A ]. 34 (2): 601-613. DOI : 10.1002/pssa.2210340223 . ISSN 0031-8965 .
↑ Mott, N.F. (1969). „Conducție în materiale necristaline”. Revista Filosofică . Informa UK Limited. 19 (160): 835-852. DOI : 10.1080/14786436908216338 . ISSN 0031-8086 .
↑ PVE McClintock, DJ Meredith, JK Wigmore. Materia la temperaturi scăzute . blackie. 1984 ISBN 0-216-91594-5 .
↑ Apsley, N. (1974). „Dependența de temperatură și câmp a conducției saltului în sistemele dezordonate”. Revista Filosofică . Informa UK Limited. 30 (5): 963-972. DOI : 10.1080/14786437408207250 . ISSN 0031-8086 .
↑ Efros, AL (1975). „Gap Coulomb și conductivitate la temperatură scăzută a sistemelor dezordonate” . Journal of Physics C : Solid State Physics ]. 8 (4): L49. DOI : 10.1088/0022-3719/8/4/003 . ISSN 0022-3719 .
↑ Li, Zhaoguo (2017). „Tranziția între Efros-Shklovskii și conducerea cu sărituri în gamă variabilă Mott în filmele subțiri de germaniu policristalin”. Știința și tehnologia semiconductoarelor . 32 (3): 035010. doi : 10.1088 /1361-6641/aa5390 .
↑ Rosenbaum, Ralph (1991). „Crossover de la Mott la Efros-Shklovskii conductivitate variabilă cu salt în gamă în filmele InxOy”. Analiza fizică B. 44 (8): 3599-3603. DOI : 10.1103/physrevb.44.3599 . ISSN 0163-1829 .