Unitatea împărțită

Partiționarea unei unități este o construcție folosită în topologie pentru confortul lucrului cu o varietate ca și cu un set de hărți .

Unitatea de partiționare este folosită pentru a defini, în special, integrala unei forme diferențiale pe o varietate.

Constructii

Să fie dat o acoperire deschisă a unui spațiu topologic prin mulțimi deschise . O partiție de unitate subordonată unei acoperiri este un set de funcții reale continue nenegative pe , care au următoarele proprietăți: $M$ $D_{\alpha }$ $\{D_{\alpha }}\}$ $f_{\beta }$ $M$

$0\leqslant f_{\beta }\leqslant 1.$
Purtătorul fiecăreia dintre funcții este cuprins în întregime într-unul dintre seturi . $f_{\beta }$ $D_{\alpha }$
Pentru orice punct , avem (adică pentru orice pentru cel mult un set numărabil de funcții , seria , unde converge la 1, este și ea diferită de zero . Această serie converge absolut, deci suma seriei nu depinde de ordinea termenilor). $x\în M$ $\sum _{\beta {f_{\beta}(x)=1)$ $x\în M$ $f_{\beta}(x)$ $\sum _{i=1}^{\infty }{f_{\beta _{i}}(x))$ $\{\beta _{1},\beta _{2},...\}=\{\beta :f_{\beta }(x)\neq 0\)$

Dacă pentru orice punct există o vecinătate astfel încât intersecția nu este goală pentru cel mult un număr finit de indici , atunci se spune că o astfel de partiție a unității este finită local . $x\în M$ $W\ni x$ $W\cap \mathrm {supp} \,f_{\beta }$ $\beta$

Proprietăți

Pentru orice acoperire deschisă a unui spațiu paracompact T 1 , există o partiție local finită a unității subordonată acestuia. În schimb, dacă pentru orice acoperire deschisă a unui spațiu există o partiție de unitate subordonată acestuia, atunci acest spațiu este paracompact. $T_{1}$
Pentru orice acoperire-varietă deschisă , există o partiție de unitate finită sau numărabilă local finită subordonată acoperirii, constând din funcții ale clasei . $C^\infty$ $C^\infty$

Literatură

Engelking R. Topologie generală / tradus de M.Ya.Antonovsky și A.V.Arkhangelsky. — M .: Mir, 1986. — 752 p.

J. de Ram. Varietăți diferențiabile / traducere de D.A. Vasilkov. - M . : literatură străină, 1956. - 250 p.