Diferența împărțită

Diferența împărțită este o generalizare a conceptului de derivată pentru un set discret de puncte.

Definiție

Să fie definită o funcție pe o mulțime (conectată) și să fie fixate puncte distincte în perechi $f$ $X,$ $x_{0},\;\ldots,\;x_{n}\in X.$

Apoi valoarea se numește diferența împărțită a ordinului zero al funcției la punctul , iar diferența de ordine divizată pentru sistemul de puncte este determinată prin diferențele de ordine împărțite conform formulei $f$ $x_{j}$ $f(x_{j}),$ $k$ $(x_{j},\;x_{j+1},\;\ldots ,\;x_{j+k})$ $(k-1)$

f(x_{j};\;x_{j+1};\;\ldots ;\;x_{j+k-1};\;x_{j+k})={\frac {f (x_{j+1};\;\ldots ;\;x_{j+k-1};\;x_{j+k})-f(x_{j};\;x_{j+1}; \;\ldots ;\;x_{j+k-1})}{x_{j+k}-x_{j}}},

în special,

f(x_{0};\;x_{1})={\frac {f(x_{1})-f(x_{0})}{x_{1}-x_{0))} ,

f(x_{0};\;x_{1};\;x_{2})={\frac {f(x_{1};\;x_{2})-f(x_{0} ;\;x_{1})}{x_{2}-x_{0}}}={\dfrac {{\dfrac {f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2 }-x_{1))}-{\dfrac {f(x_{1})-f(x_{0})}{x_{1}-x_{0)))){x_{2}-x_{ 0}}},

f(x_{0};\;x_{1};\;\ldots ;\;x_{n-1};\;x_{n})={\frac {f(x_{1}; \;\ldots ;\;x_{n-1};\;x_{n})-f(x_{0};\;x_{1};\;\ldots ;\;x_{n-1}) {x_{n}-x_{0}}}.

Proprietăți

Pentru diferența împărțită, formula este adevărată

f(x_{0};\;x_{1};\;\ldots ;\;x_{n})=\sum _{j=0}^{n}{\dfrac {f(x_{ j})}{\prod \limits _{i=0 \atop i\neq j}^{n}(x_{j}-x_{i))}}),

în special,

f(x_{0};\;x_{1})={\frac {f(x_{1})}{x_{1}-x_{0))}+{\frac {f(x_ {0})}{x_{0}-x_{1}}},

f(x_{0};\;x_{1};\;x_{2})={\frac {f(x_{2})}{(x_{2}-x_{1})( x_{2}-x_{0})}}+{\frac {f(x_{1})}{(x_{1}-x_{2})(x_{1}-x_{0})}} +{\frac {f(x_{0})}{(x_{0}-x_{2})(x_{0}-x_{1})}}.

Diferența divizată este o funcție simetrică a argumentelor sale, adică orice permutare a acestora nu își schimbă valoarea, în special,

f(x_{0};\;x_{1})=f(x_{1};\;x_{0}),

f(x_{0};\;x_{1};\;x_{2})=f(x_{1};\;x_{0};\;x_{2})=f(x_ {2};\;x_{1};\;x_{0}),

f(x_{0};\;x_{1};\;\ldots ;\;x_{n-1};\;x_{n})=f(x_{n};\;x_{ n-1};\;\ldots ;\;x_{1};\;x_{0}).

Cu un sistem fix de puncte , diferența împărțită este o funcțională liniară , adică pentru funcții și și scalari și : $(x_{0},\;\ldots ,\;x_{n})$ $f$ $g$ $A$ $b$

(a\cdot f+b\cdot g)(x_{0};\;\ldots ;\;x_{n})=a\cdot f(x_{0};\;\ldots ;\; x_{n})+b\cdot g(x_{0};\;\ldots ;\;x_{n}).

Aplicație

Cu ajutorul diferențelor împărțite, funcțiile pentru noduri pot fi scrise ca polinomul de interpolare „înainte” al lui Newton: $f$ $(x_{0},\;\ldots ,\;x_{n})$

{\begin{array}{rcl}L_{n}(x)&=&f(x_{0})+f(x_{0};\;x_{1})\cdot (x-x_{ 0})+f(x_{0};\;x_{1};\;x_{2})\cdot (x-x_{0})\cdot (x-x_{1})+\ldots +f (x_{0};\;\ldots ;\;x_{n})\cdot \prod _{k=0}^{n-1}(x-x_{k})=\\&=&f(x_ {0})+(x-x_{0})\cdot \left(f(x_{0};\;x_{1})+(x-x_{1})\cdot \left(f(x_{ 0};\;x_{1};\;x_{2})+\ldots +(x-x_{n-1})\cdot f(x_{0};\;\ldots ;\;x_{n })\ldots\dreapta)\dreapta),\end{matrice}}

la fel este polinomul de interpolare al lui Newton „înapoi”:

{\begin{array}{rcl}L_{n}(x)&=&f(x_{n})+f(x_{n};\;x_{n-1})\cdot (x- x_{n})+f(x_{n};\;x_{n-1};\;x_{n-2})\cdot (x-x_{n})\cdot (x-x_{n- 1})+\ldots +f(x_{n};\;\ldots ;\;x_{0})\cdot \prod _{k=1}^{n}(x-x_{k})=\ \&=&f(x_{n})+(x-x_{n})\cdot \left(f(x_{n};\;x_{n-1})+(x-x_{n-1} )\cdot \left(f(x_{n};\;x_{n-1};\;x_{n-2})+\ldots +(x-x_{1})\cdot f(x_{n };\;\ldots ;\;x_{0})\ldots \right)\right).\end{array}}

Avantaje:

pentru calcularea diferențelor împărțite sunt necesare acțiuni (diviziuni), care este mai mică decât în alți algoritmi; $(n+2)(n+1)/2=O(n^{2})$
puteți calcula valorile polinomului de interpolare conform schemei Horner pentru acțiuni (înmulțiri); $Pe)$
stocarea este cerută de nod și diferență, iar diferențele pot fi stocate (primite) în aceleași celule în care au fost setate valorile ; $(n+1)$ $(n+1)$ $f(x_{k})$
comparativ cu polinomul de interpolare Lagrange, adăugarea unui nou nod este simplificată.

Folosind

\left\{{\begin{array}{rcl}\omega _{j}(x)&=&(x-x_{0})\cdot \ldots \cdot (x-x_{j-1 })=\prod \limits _{k=0}^{j-1}(x-x_{k})=\omega _{j-1}(x)\cdot (x-x_{j-1} ),\;j>0,\\\omega _{0}(x)&=&1\end{array}}\right.

Prima dintre formule poate fi scrisă ca

L_{n}(x)=\sum _{j=0}^{n}f(x_{0};\;\ldots ;\;x_{j})\cdot \omega _{j} (X).

Folosind polinomul lui Newton, se poate obține și următoarea reprezentare a diferențelor împărțite ca raport al determinanților :

f(x_{0};\ldots ;x_{n})={\frac {\left|{\begin{array}{ccccc}1&x_{0}&\ldots &x_{0}^{n- 1}&f(x_{0})\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\1&x_{n}&\ldots &x_{n}^{n-1}&f(x_{n} )\end{array}}\right|}{\left|{\begin{array}{ccccc}1&x_{0}&\ldots &x_{0}^{n-1}&x_{0}^{n}\ \\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\1&x_{n}&\ldots &x_{n}^{n-1}&x_{n}^{n}\end{array}}\right |}}.

Istorie

Newton a folosit diferențe împărțite în formula sa de interpolare generală (vezi mai sus), dar termenul pare să fi fost introdus de O. de Morgan în 1848 [1] .

Exemplu

Imaginea de mai jos prezintă un exemplu de calcul a diferențelor împărțite pentru

{\begin{array}{rcl}f(x)&=&2x^{3}-2x^{2}+3x-1,\\x_{i}&=&i,\;i=0, \ldots ,n,\\n&=&5.\end{array}}

Vezi și

Link -uri

Interpolarea hermite folosind diferențe împărțite.

Literatură

Bakhvalov N. S. , Zhidkov N. P. , Kobelkov G. M. Metode numerice. - Ed. a III-a, add. și refăcut. — M. : BINOM. Laboratorul de cunoștințe, 2004. - 636 p., ill. — ISBN 5-94774-175-X .
Korn G. (Granino A. Korn, Ph.D.), Korn T. (Theresa M. Korn, MS) Manual de matematică pentru oameni de știință și ingineri ( Eng. Manual de matematică pentru oameni de știință și ingineri, 1968 ). - M . : Nauka, 1973. - 832 p., ill.

Note

↑ Diferențe finite. Arhivat 12 august 2010 la Wayback Machine în Encyclopedia Around the World