Descompunerea Engel

Descompunerea Engel a unui număr real pozitiv x este singura succesiune nedescrescătoare de numere naturale pozitive astfel încât ${\displaystyle \{a_{1},a_{2},a_{3},\dots \))$

x={\frac {1}{a_{1}}}+{\frac {1}{a_{1}a_{2}}}+{\frac {1}{a_{1}a_{ 2}a_{3}}}+\cdots .\;

Numerele raționale au o expansiune Engel finită, iar numerele iraționale au o expansiune în serie infinită. Dacă x este rațional, expansiunea lui Engel oferă o reprezentare egipteană a lui x . Descompunerea este numită după matematicianul Friedrich Engel , care a studiat-o în 1913 .

O descompunere similară cu descompunerea Engel , dar cu termenii inversați, se numește descompunerea Peirce .

Expansiunea Engel, fracții continuate și Fibonacci

Kraeikamp și Wu [1] au observat că expansiunea Engel poate fi scrisă ca o variantă de fracție continuă ascendentă :

x={\frac {\displaystyle 1+{\frac {\displaystyle 1+{\frac {\displaystyle 1+\cdots }{\displaystyle a_{3))}}{\displaystyle a_{2)} }}{\displaystyle a_{1}}}}.

Ei susțin că fracțiile continue crescătoare ca aceasta au fost studiate încă de pe vremea abacului lui Fibonacci (1202). Această afirmație se referă la notația complexă a fracțiunii Fibonacci, în care o succesiune de numărători și numitori care împărtășesc aceeași trăsătură reprezintă o fracție continuă ascendentă:

{\frac {a\ b\ c\ d}{e\ f\ g\ h))={\dfrac {d+{\dfrac {c+{\dfrac {b+{\dfrac {a}{e} }}{f}}}{g}}}{h}}.

Dacă în această notație toți numărătorii sunt 0 sau 1, așa cum apare în unele locuri în cartea abacului , rezultatul este o expansiune Engel. Cu toate acestea, descompunerea Engel ca tehnică nu este descrisă în carte.

Algoritm pentru calculul expansiunilor Engel

Pentru a găsi expansiunea Engel pentru x , punem

u_{1}=x,

a_{k}=\left\lceil {\frac {1}{u_{k)}}\right\rceil ,

și

u_{k+1}=u_{k}a_{k}-1

unde este plafonul (cel mai mic întreg nu mai mic decât r ). $\left\lceil r\right\rceil$

Dacă pentru unii i , oprim algoritmul. $u_{i}=0$

Exemplu

Pentru a găsi expansiunea Engel pentru numărul 1.175, vom efectua următorii pași.

u_{1}=1{,}175,a_{1}=\left\lceil {\frac {1}{1{,}175}}\right\rceil =1;

u_{2}=u_{1}a_{1}-1=1{,}175\cdot 1-1=0,175,a_{2}=\left\lceil {\frac {1}{0{ ,}175}}\right\rceil=6

u_{3}=u_{2}a_{2}-1=0{,}175\cdot 6-1=0{,}05,a_{3}=\left\lceil {\frac {1 {0{,}05}}\right\rceil =20

u_{4}=u_{3}a_{3}-1=0{,}05\cdot 20-1=0

Secvența s-a încheiat. În acest fel,

1{,}175={\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1\cdot 6}}+{\frac {1}{1\cdot 6\cdot 20}}

iar expansiunea Engel pentru 1.175 este {1, 6, 20}.

Descompunerea Engel a numerelor raționale

Orice număr rațional pozitiv are o expansiune Engel finită unică. În algoritmul de descompunere Engel, dacă u i este un număr rațional x / y , atunci u i +1 = (− y mod x )/ y . Astfel, fiecare pas reduce numărătorul din restul u i și procesul de construire a expansiunii Engel trebuie să se termine după un număr finit de pași. Orice număr rațional are și o expansiune Engel infinită unică: folosind egalitatea

{\frac {1}{n}}=\sum _{r=1}^{\infty }{\frac {1}{(n+1)^{r}}}.

ultimul număr n din expansiunea Engel finită poate fi înlocuit cu o succesiune infinită ( n + 1) fără modificarea valorii. De exemplu,

1{,}175=\{1,6,20\}=\{1,6,21,21,21,\dots \}.\;\;

Acest lucru este analog cu faptul că orice număr rațional cu o reprezentare zecimală finită are o reprezentare zecimală infinită (vezi 0,(9) ). O expansiune Engel infinită în care toate elementele sunt egale este o progresie geometrică .

Erdős , Renyi și Szüsz au întrebat despre limitele netriviale ale lungimii expansiunii Engel finite a fracției raționale x / y . La această întrebare au răspuns Erdős și Schallit demonstrând că numărul de termeni de expansiune este O( y 1/3 + ε ) pentru orice ε > 0 [2] [3] .

Extindere Engel pentru unele constante binecunoscute

\pi

= {1, 1, 1, 8, 8, 17, 19, 300, 1991, 2492, ...} (secvența A006784 în OEIS )

{\sqrt {2}}

= {1, 3, 5, 5, 16, 18, 78, 102, 120, 144, ...} (secvența A028254 în OEIS )

e

= {1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, ...} (secvența A000027 în OEIS )

e^{1/r}-1=\{1r,2r,3r,4r,5r,6r,\dots \}\;

Mai multe expansiuni Engel pot fi găsite aici .

Rata de creștere a elementelor de descompunere

Coeficienții a i ai expansiunii Engel, de regulă, au o creștere exponențială . Mai precis, pentru aproape toate numerele din intervalul (0,1], limita există și este egală cu e . Cu toate acestea, submulțimea intervalului pentru care aceasta nu este valabilă este suficient de mare încât dimensiunea lui Hausdorff să fie una [4] ] . $\lim _{n\rightarrow \infty}a_{n}^{1/n)$

Aceeași creștere tipică se vede în termenii generați de algoritmul lacom pentru fracțiile egiptene . Totuși, mulțimea numerelor reale din intervalul (0,1), a căror expansiune Engel coincide cu extinderea lor prin algoritmul greedy, are măsura zero și dimensiunea Hausdorff 1/2 [5] .

Note

↑ Kraaikamp, Wu, 2004 .
↑ Erdős, Renyi, Szüsz, 1958 .
↑ Erdős, Shallit, 1991 .
↑ Wu, 2000 , Potrivit lui Wu, rezultatul egalității limitei e pentru aproape toate numerele se datorează lui Janos Galambos.
↑ Wu, 2003 .

Literatură

F. Engel. Verhandlungen der 52. Versammlung deutscher Philologen und Schulmaenner în Marburg. - 1913. - S. 190-191.
T. A. Pierce. Despre un algoritm și utilizarea lui în aproximarea rădăcinilor ecuațiilor algebrice // Am. Matematică. Lunar. - 1929. - T. 36 , nr 10 . - S. 523-525 . — .
Paul Erdős, Alfred Rényi, Peter Szüsz. Despre serialele lui Engel și Sylvester // Ann. Univ. sci. Budapesta. Eötvös Sect. Matematică.. - 1958. - T. 1 . - S. 7-32 .
Paul Erdős, Jeffrey Shallit. Noi limite pentru lungimea seriei finite Pierce și Engel // Journal de théorie des nombres de Bordeaux. - 1991. - Vol. 3 , numărul. 1 . - S. 43-53 . - doi : 10.5802/jtnb.41 .
J. Paradis, P. Viader, L. Bibiloni. Aproximare la iraționali pătratici și expansiunile Pierce ale acestora // Fib. Quart .. - 1998. - T. 36 , nr 2 . - S. 146-153 .
Cor Kraaikamp, Jun Wu. Pe o nouă expansiune continuă a fracțiunii cu coeficiente parțiale nedescrescătoare // Monatshefte für Mathematik. - 2004. - T. 143 , nr. 4 . - S. 285-298 . - doi : 10.1007/s00605-004-0246-3 .
Jun Wu. O problemă a lui Galambos asupra expansiunilor Engel // Acta Arithmetica. - 2000. - T. 92 , nr. 4 . - S. 383-386 .
Jun Wu. Câte puncte au aceleași expansiuni Engel și Sylvester? // Jurnalul de Teoria numerelor. - 2003. - T. 103 , nr. 1 . - S. 16-26 . - doi : 10.1016/S0022-314X(03)00017-9 .

Link -uri

Weisstein, Eric W. Engel Expansiunea . MathWorld – O resursă web Wolfram. (nedefinit)