Dimensiunea Hausdorff

Dimensiunea Hausdorff , sau dimensiunea Hausdorff , este o modalitate naturală de a defini dimensiunea unei submulțimi într-un spațiu metric . Dimensiunea Hausdorff este de acord cu noțiunile noastre obișnuite de dimensiune atunci când aceste noțiuni obișnuite există. De exemplu, în spațiul euclidian tridimensional , dimensiunea Hausdorff a unei mulțimi finite este zero, dimensiunea unei curbe netede este unu, dimensiunea unei suprafețe netede este două și dimensiunea unui set de volum diferit de zero este Trei. Pentru mulțimi mai complexe (fractale), dimensiunea Hausdorff poate să nu fie un număr întreg.

Definiție

Definirea dimensiunii Hausdorff constă din mai multe etape. Fie o mulțime mărginită într-un spațiu metric . $\Omega$ $X$

ε-acoperiri

Lasă . Cel mult un set numărabil de submulțimi ale unui spațiu va fi numit o acoperire a mulțimii dacă sunt valabile următoarele două proprietăți: $\varepsilon >0$ $\{\omega _{i}\}_{{i\in I}}$ $X$ $\varepsilon$ $\Omega$

$\Omega \subset \bigcup _{{i\in I}}\omega _{i}$
pentru orice : (în continuare, înseamnă diametrul setului ). $i\în eu$ $|\omega _{i}|<\varepsilon$ $|\omega |$ $\omega$

Hausdorff α-măsură

Lasă . Să fie o acoperire a setului . Să definim următoarea funcție, care într-un fel arată „dimensiunea” acestei acoperiri: . $\alpha >0$ $\Theta =\{\omega _{i}\}_{{i\in I}}$ $\Omega$ $F_{\alpha }(\Theta ):=\sum \limits _{{i\in I}}|\omega _{i}|^{\alpha }$

Să notăm prin „dimensiunea minimă” -coperți ale setului : , unde infimumul este preluat peste toate -copertele setului . $M_{{\alpha }}^{{\varepsilon }}(\Omega )$ ${\varepsilon }$ $\Omega$ $M_{{\alpha }}^{{\varepsilon }}(\Omega):=\inf(F_{\alpha }(\Theta))$ $\varepsilon$ $\Omega$

Este evident că funcția (nestrict) crește odată cu descreșterea , deoarece prin scădere nu facem decât să micșorăm setul de posibile -acoperiri. Prin urmare, are o limită finită sau infinită la : $M_{{\alpha }}^{{\varepsilon }}(\Omega )$ $\varepsilon$ $\varepsilon$ $\varepsilon$ $\varepsilon \rightarrow 0+$

$M_{{\alpha }}(\Omega )=\lim \limits _{{\varepsilon \rightarrow 0+}}M_{{\alpha }}^({\varepsilon }}(\Omega )$ .

Mărimea se numește măsura Hausdorff a mulțimii . $M_{{\alpha }}(\Omega )$ $\alfa$ $\Omega$

Proprietăți ale măsurii α Hausdorff

$\alfa$ -măsura Hausdorff este o măsură Borel pe . $X$
până la înmulțirea cu un coeficient: 1-măsura Hausdorff pentru curbele netede coincide cu lungimea lor; Măsura Hausdorff 2 pentru suprafețe netede coincide cu zona lor; -masura Hausdorff a multimilor in coincide cu volumul lor -dimensional. $d$ $\mathbb{R}^d$ $d$
$M_{{\alpha }}(\Omega )$ scade in . În plus, pentru orice mulțime există [1] [2] [3] o valoare critică , astfel încât: $\alfa$ $\Omega$ $\alpha _{0}$
- $M_{{\alpha }}(\Omega )=+\infty$ pentru toți $\alpha <\alpha _{0}$
- $M_{{\alpha }}(\Omega )=0$ pentru toți $\alpha >\alpha _{0}$

Valoarea poate fi zero, finit pozitivă sau infinită. $M_{{\alpha _{0}}}(\Omega )$

Definiția dimensiunii Hausdorff

Dimensiunea Hausdorff a unei multimi este numarul din paragraful anterior. $\dim _{H}\Omega$ $\Omega$ $\alpha _{0}$

Exemple

Pentru mulțimile auto-similare, dimensiunea Hausdorff poate fi calculată explicit. Informal vorbind, dacă o mulțime este împărțită în părți similare cu mulțimea inițială cu coeficienți , atunci dimensiunea sa este o soluție a ecuației . De exemplu, $n$ $r_{1},r_{2},\dots ,r_{n}$ $s$ $r_{1}^{s}+r_{2}^{s}+\dots +r_{n}^{s}=1$

dimensiunea setului Cantor este (împărțit în două părți, coeficientul de similitudine 1/3), $\ln 2/\ln 3$
dimensiunea triunghiului Sierpinski - (împărțit în 3 părți, coeficient de similitudine 1/2), $\ln 3/\ln 2$
dimensiunea curbei dragonului - (împărțit în 2 părți, coeficient de similitudine ). $2$ ${\sqrt {1/2)}$

Proprietăți

Dimensiunea Hausdorff a oricărui set nu depășește dimensiunile Minkowski inferioare și superioare .
Dimensiunea Hausdorff a cel mult unei uniuni numărabile de mulțimi este egală cu maximul dimensiunilor acestora.
- În special, adăugarea unui set numărabil la orice set nu schimbă dimensiunea acestuia.
Pentru spații metrice arbitrare și relația $X$ $Y$ $\dim _{H}(X\times Y)\geq \dim _{H}(X)+\dim _{H}(Y).$
- Pentru unele perechi și inegalitatea este strictă; în plus, o astfel de pereche poate fi aleasă din submulțimi compacte ale dreptei reale. [patru] $X$ $Y$

Vezi și

Note

↑ Demonstrație în Pertti Mattila, „Geometria mulțimilor și măsurilor în spațiile euclidiene”, 1995 - Teorema 4.7
↑ (Springer) Encyclopedia of Mathematics - Reference to Mattila . Consultat la 31 august 2015. Arhivat din original la 16 ianuarie 2020. (nedefinit)
↑ Proof în Kenneth Falconer, „Fractal Geometry” (ediția a doua), 2003 - p. 31
↑ Exemplul 7.8 în Falconer, Kenneth J. Fractal geometry. Fundamente și aplicații matematice . — John Wiley & Sons, Inc., Hoboken, New Jersey, 2003.

Literatură

Feder E. Fractali. - M .: MIR, 1991. - S. 254. - ISBN 5-03-001712-7 .

fractali
Caracteristici	dimensiune fractală dimensiunea Hausdorff Dimensiunea Lebesgue recursiunea autoasemănarea
Cei mai simpli fractali	Fern Barnsley Setul Cantor curba dragonului curba Koch Sponge Menger covor Sierpinski Triunghiul Sierpinski Curba de umplere a spațiului
atractor ciudat	Multifractal
Sistemul L	Curba de umplere a spațiului
Fractali de bifurcație	Julia a stabilit Fractal Lyapunov Set Mandelbrot bazinele lui Newton
Fractali aleatorii	Mișcarea browniană arbore brunian suprafata fractala Teoria percolarii
oameni	Georg Kantor Felix Hausdorff Gaston Julia Helge von Koch Paul Levy Alexandru Lyapunov Benoit Mandelbrot Lewis Richardson Vaclav Sierpinski
subiecte asemănătoare	Cât de lungă este coasta Marii Britanii? » Paradoxul litoralului

Dimensiunea spațiului
Spații după dimensiune	Zero-dimensionale unidimensional 2D 3D patru dimensionale cinci dimensiuni În șase dimensiuni Șapte-dimensionale octal Nouă-dimensionale n-dimensională Dimensiunea negativă
Politopuri și figuri	Simplex hipercub tesseract Hiperdreptunghi (ortotop) Semihipercub Cross-politope hipersferă
Tipuri de spații	spațiu finit-dimensional Spațiul euclidian spatiu afin spațiu proiectiv Modul gratuit Manifold Dimensiunea unei variabile algebrice spațiu timp
Alte concepte dimensionale	dimensiunea Krull Dimensiunea Lebesgue Dimensiunea inductivă Dimensiunea fracțională ( dimensiunea Minkowski , dimensiunea Hausdorff ) dimensiune fractală Grade de libertate
Matematica