Fracție egipteană - în matematică , suma mai multor fracții diferite în perechi ale formei (așa-numitele fracții alicote ). Cu alte cuvinte, fiecare fracție a sumei are un numărător care este egal cu unu și un numitor care este un număr natural .
Exemplu: .
O fracție egipteană este un număr rațional pozitiv de forma a / b ; de exemplu, fracția egipteană scrisă mai sus ar putea fi scrisă ca 43/48. Se poate demonstra că fiecare număr rațional pozitiv poate fi reprezentat ca o fracție egipteană (în general, într-un număr infinit de moduri [1] ). Acest tip de sumă a fost folosit de matematicieni pentru a scrie fracții arbitrare din timpul Egiptului antic până în Evul Mediu . În matematica modernă, fracțiile simple și zecimale sunt folosite în locul fracțiilor egiptene , cu toate acestea, fracțiile egiptene continuă să fie studiate în teoria numerelor și în istoria matematicii .
Fracțiile egiptene au fost inventate și folosite pentru prima dată în Egiptul antic . Una dintre cele mai vechi referințe cunoscute la fracțiile egiptene este Papirusul matematic Rhinda . Trei texte mai vechi care menționează fracții egiptene sunt sulul egiptean din piele matematică , papirusul matematic din Moscova și tăblița din lemn Akhmim. Papirusul Rinda a fost scris de scribul Ahmes în epoca celei de-a doua perioade intermediare ; include un tabel de fracții egiptene pentru numere raționale de forma 2/ n , precum și 84 de probleme matematice, soluțiile și răspunsurile acestora scrise în fracții egiptene.
Egiptenii foloseau hieroglifa
|
( ep , „[unul] din” sau re , putrezire) peste un număr pentru a reprezenta o fracție unitară în notație convențională, în timp ce o linie a fost folosită în textele hieratice . De exemplu:
|
|
Ei aveau, de asemenea, simboluri speciale pentru fracțiile 1/2, 2/3 și 3/4 (ultimele două cifre fiind singurele fracții non-aliquote folosite de egipteni) care puteau fi folosite și pentru a scrie alte fracții (mai mari decât 1). /2).
|
|
|
Egiptenii au folosit și alte forme de notație, bazate pe hieroglifa Ochiul lui Horus , pentru a reprezenta un set special de fracții de forma 1/2 k (pentru k = 1, 2, ..., 6), adică două -element numere raționale . Astfel de fracții au fost folosite, împreună cu alte forme de fracții egiptene, pentru a împărți heqat ( ~ 4,785 litri ), principala măsură a volumului în Egiptul antic. Această notație combinată a fost folosită și pentru a măsura volumul de cereale , pâine și bere . Dacă după înregistrarea cantității sub forma unei fracțiuni din Ochiul lui Horus, a rămas ceva rest, aceasta a fost înregistrată în forma obișnuită ca multiplu de rho , o unitate de măsură egală cu 1/320 hekat.
De exemplu, așa:
|
În același timp, „gura” a fost plasată în fața tuturor hieroglifelor.
Fracțiile egiptene au continuat să fie folosite în Grecia antică și, ulterior, de către matematicienii din întreaga lume până în Evul Mediu , în ciuda observațiilor matematicienilor antici asupra lor (de exemplu, Claudius Ptolemeu a vorbit despre inconvenientul utilizării fracțiilor egiptene în comparație cu sistemul babilonian ). Lucrări importante privind studiul fracțiilor egiptene au fost efectuate de matematicianul din secolul al XIII-lea Fibonacci în lucrarea sa „ Liber Abaci ”.
Tema principală a Liber Abaci este calculele folosind fracții zecimale și comune, care în cele din urmă au înlocuit fracțiile egiptene. Fibonacci a folosit o notație complexă pentru fracții, inclusiv notarea numerelor cu o bază mixtă și notația ca sume de fracții, iar fracțiile egiptene erau adesea folosite. De asemenea, în carte au fost dați algoritmi pentru conversia din fracții obișnuite în cele egiptene.
Prima metodă generală de descompunere a unei fracțiuni arbitrare în componente egiptene care a ajuns până la noi a fost descrisă de Fibonacci în secolul al XIII-lea. În notația modernă, algoritmul său poate fi enunțat după cum urmează.
1. Fracția este descompusă în doi termeni:
Aici este câtul de împărțire a lui n la m , rotunjit la cel mai apropiat număr întreg și este restul (pozitiv) al împărțirii lui - n la m .
2. Primul termen din partea dreaptă are deja forma unei fracții egiptene. Din formula se poate observa că numărătorul celui de-al doilea termen este strict mai mic decât cel al fracției inițiale. În mod similar, folosind aceeași formulă, extindem al doilea termen și continuăm acest proces până când obținem termenul cu numărătorul 1.
Metoda Fibonacci converge întotdeauna după un număr finit de pași și dă expansiunea dorită. Exemplu:
Cu toate acestea, descompunerea obținută prin această metodă poate să nu fie cea mai scurtă. Un exemplu de aplicare nereușită:
în timp ce algoritmii mai avansați duc la descompunere
Matematicienii moderni continuă să exploreze o serie de probleme legate de fracțiile egiptene.
Fracțiile egiptene ridică o serie de probleme matematice dificile și nerezolvate până în prezent.
Conjectura Erdős-Strauss afirmă că pentru orice număr întreg n ≥ 2, există numere întregi pozitive x , y și z astfel încât
Experimentele pe calculator arată că presupunerea este adevărată pentru toți n ≤ 10 14 , dar încă nu a fost găsită nicio dovadă. O generalizare a acestei presupuneri afirmă că pentru fiecare k pozitiv, există N astfel încât, pentru toate n ≥ N , există o descompunere
Această ipoteză îi aparține lui Andrzej Schinzel .
![]() |
---|