Fracții egiptene

Fracție egipteană - în matematică , suma mai multor fracții diferite în perechi ale formei (așa-numitele fracții alicote ). Cu alte cuvinte, fiecare fracție a sumei are un numărător care este egal cu unu și un numitor care este un număr natural . ${\frac {1}{n}}$

Exemplu: . ${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{16}}$

O fracție egipteană este un număr rațional pozitiv de forma a / b ; de exemplu, fracția egipteană scrisă mai sus ar putea fi scrisă ca 43/48. Se poate demonstra că fiecare număr rațional pozitiv poate fi reprezentat ca o fracție egipteană (în general, într-un număr infinit de moduri [1] ). Acest tip de sumă a fost folosit de matematicieni pentru a scrie fracții arbitrare din timpul Egiptului antic până în Evul Mediu . În matematica modernă, fracțiile simple și zecimale sunt folosite în locul fracțiilor egiptene , cu toate acestea, fracțiile egiptene continuă să fie studiate în teoria numerelor și în istoria matematicii .

Istorie

Egiptul Antic

Pentru mai multe informații despre acest subiect, consultați Numerale egiptene , Matematica în Egiptul Antic .

Fracțiile egiptene au fost inventate și folosite pentru prima dată în Egiptul antic . Una dintre cele mai vechi referințe cunoscute la fracțiile egiptene este Papirusul matematic Rhinda . Trei texte mai vechi care menționează fracții egiptene sunt sulul egiptean din piele matematică , papirusul matematic din Moscova și tăblița din lemn Akhmim. Papirusul Rinda a fost scris de scribul Ahmes în epoca celei de-a doua perioade intermediare ; include un tabel de fracții egiptene pentru numere raționale de forma 2/ n , precum și 84 de probleme matematice, soluțiile și răspunsurile acestora scrise în fracții egiptene.

Egiptenii foloseau hieroglifa

( ep , „[unul] din” sau re , putrezire) peste un număr pentru a reprezenta o fracție unitară în notație convențională, în timp ce o linie a fost folosită în textele hieratice . De exemplu:

={\frac {1}{3}}

={\frac {1}{10}}

Ei aveau, de asemenea, simboluri speciale pentru fracțiile 1/2, 2/3 și 3/4 (ultimele două cifre fiind singurele fracții non-aliquote folosite de egipteni) care puteau fi folosite și pentru a scrie alte fracții (mai mari decât 1). /2).

={\frac {1}{2}}

={\frac {2}{3))

={\frac {3}{4))

Egiptenii au folosit și alte forme de notație, bazate pe hieroglifa Ochiul lui Horus , pentru a reprezenta un set special de fracții de forma 1/2 k (pentru k = 1, 2, ..., 6), adică două -element numere raționale . Astfel de fracții au fost folosite, împreună cu alte forme de fracții egiptene, pentru a împărți heqat ( ~ 4,785 litri ), principala măsură a volumului în Egiptul antic. Această notație combinată a fost folosită și pentru a măsura volumul de cereale , pâine și bere . Dacă după înregistrarea cantității sub forma unei fracțiuni din Ochiul lui Horus, a rămas ceva rest, aceasta a fost înregistrată în forma obișnuită ca multiplu de rho , o unitate de măsură egală cu 1/320 hekat.

De exemplu, așa:

={\frac {1}{331}}

În același timp, „gura” a fost plasată în fața tuturor hieroglifelor.

Antichitatea și Evul Mediu

Fracțiile egiptene au continuat să fie folosite în Grecia antică și, ulterior, de către matematicienii din întreaga lume până în Evul Mediu , în ciuda observațiilor matematicienilor antici asupra lor (de exemplu, Claudius Ptolemeu a vorbit despre inconvenientul utilizării fracțiilor egiptene în comparație cu sistemul babilonian ). Lucrări importante privind studiul fracțiilor egiptene au fost efectuate de matematicianul din secolul al XIII-lea Fibonacci în lucrarea sa „ Liber Abaci ”.

Tema principală a Liber Abaci este calculele folosind fracții zecimale și comune, care în cele din urmă au înlocuit fracțiile egiptene. Fibonacci a folosit o notație complexă pentru fracții, inclusiv notarea numerelor cu o bază mixtă și notația ca sume de fracții, iar fracțiile egiptene erau adesea folosite. De asemenea, în carte au fost dați algoritmi pentru conversia din fracții obișnuite în cele egiptene.

Algoritmul Fibonacci

Prima metodă generală de descompunere a unei fracțiuni arbitrare în componente egiptene care a ajuns până la noi a fost descrisă de Fibonacci în secolul al XIII-lea. În notația modernă, algoritmul său poate fi enunțat după cum urmează.

1. Fracția este descompusă în doi termeni: ${\frac {m}{n}}$

{\frac {m}{n}}={\frac {1}{\lceil n/m\rceil }}+{\frac {(-n){\bmod {m}}}{n\ lceil n/m\rceil }}.

Aici este câtul de împărțire a lui n la m , rotunjit la cel mai apropiat număr întreg și este restul (pozitiv) al împărțirii lui - n la m . $\lceil n/m\rceil$ $(-n){\bmod {m))$

2. Primul termen din partea dreaptă are deja forma unei fracții egiptene. Din formula se poate observa că numărătorul celui de-al doilea termen este strict mai mic decât cel al fracției inițiale. În mod similar, folosind aceeași formulă, extindem al doilea termen și continuăm acest proces până când obținem termenul cu numărătorul 1.

Metoda Fibonacci converge întotdeauna după un număr finit de pași și dă expansiunea dorită. Exemplu:

{\frac {7}{15}}={\frac {1}{3}}+{\frac {2}{15}}={\frac {1}{3}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{120}}.

Cu toate acestea, descompunerea obținută prin această metodă poate să nu fie cea mai scurtă. Un exemplu de aplicare nereușită:

{\frac {5}{121}}={\frac {1}{25}}+{\frac {1}{757}}+{\frac {1}{763\,309}}+ {\frac {1}{873\,960\,180\,913}}+{\frac {1}{1\,527\,612\,795\,642\,093\,418\,846\ ,225}},

în timp ce algoritmii mai avansați duc la descompunere

{\frac {5}{121}}={\frac {1}{33}}+{\frac {1}{121}}+{\frac {1}{363}}.

Teoria numerelor modernă

Matematicienii moderni continuă să exploreze o serie de probleme legate de fracțiile egiptene.

La sfârșitul secolului al XX-lea, au fost date estimări pentru numitorul maxim și durata expansiunii unei fracții arbitrare în cele egiptene. Fracția x / y are o expansiune în fracții egiptene cu un numitor maxim de cel mult

O\left({\frac {y\log ^{2}y}{\log \log y}}\dreapta)

( Tenenbaum & Yokota 1990 ) și cu nu mai mult de

O\stânga({\sqrt {\log y}}\dreapta)

( Vose 1985 ).

Conjectura Erdős-Graham afirmă că pentru orice colorare a numerelor întregi mai mari de 1 în r > 0 culori, există o submulțime finită monocromatică S de numere întregi pentru care $\sum _{n\in S}{\frac {1}{n}}=1.$

Această presupunere a fost dovedită de Ernest Krut în 2003 .

Probleme deschise

Fracțiile egiptene ridică o serie de probleme matematice dificile și nerezolvate până în prezent.

Conjectura Erdős-Strauss afirmă că pentru orice număr întreg n ≥ 2, există numere întregi pozitive x , y și z astfel încât

{\frac 4n}={\frac 1x}+{\frac 1y}+{\frac 1z}.

Experimentele pe calculator arată că presupunerea este adevărată pentru toți n ≤ 10 14 , dar încă nu a fost găsită nicio dovadă. O generalizare a acestei presupuneri afirmă că pentru fiecare k pozitiv, există N astfel încât, pentru toate n ≥ N , există o descompunere

{\frac {k}{n}}={\frac 1x}+{\frac 1y}+{\frac 1z}.

Această ipoteză îi aparține lui Andrzej Schinzel .

Note

↑ R. Knott . Fracții egiptene Arhivate pe 2 mai 2016 la Wayback Machine .

Literatură

Van der Waerden. Trezirea Științei. Matematica Egiptului antic, Babilonului și Greciei. Traducere din olandeză de N. Veselovsky. Moscova: Fizmatgiz, 1959, 456 p. (Retipărire: M.: URSS, 2007)
Neugebauer O. Prelegeri despre istoria științelor matematice antice (matematică pre-greacă). T. 1. M.-L.: ONTI, 1937.
Neugebauer O. Ştiinţe exacte în antichitate. M.: Nauka, 1968. (Retipărire: M.: URSS, 2003)
Raik A.E. Eseuri despre istoria matematicii în antichitate. Saransk, statul Mordovian. Editura, 1977.
Raik A.E. Despre istoria fracțiilor egiptene. Cercetări istorice și matematice, 23, 1978, p. 181-191.
Yanovskaya S. A. Despre teoria fracțiilor egiptene. Proceedings of the Institute of History of Natural Science, 1, 1947, p. 269-282.
Beeckmans, L. Algoritmul de împărțire pentru fracțiile egiptene (nedefinite) // Journal of Number Theory . - 1993. - T. 43 . - S. 173-185 .
Botts, Truman. Un proces de reacție în lanț în teoria numerelor (neopr.) // Mathematics Magazine . - 1967. - S. 55-65 .
Breusch, R. A special case of Egyptian fractions, solution to advanced problem 4512 // American Mathematical Monthly : journal . - 1954. - Vol. 61 . - P. 200-201 .
Bruins, Evert M. Platon et la tablégyptienne 2/n (nedefinit) // Janus. - 1957. - T. 46 . - S. 253-263 .
Eves, Howard. O introducere în istoria matematicii, (engleză) . — Holt, Reinhard și Winston, 1953.
Gillings, Richard J. Mathematics in the Time of the Pharaohs (neopr.) . — Dover, 1982.
Graham, RL Despre sume finite de reciproce ale puterilor n -ale distincte // Pacific Journal of Mathematics : journal. - 1964. - Vol. 14 , nr. 1 . - P. 85-92 . Arhivat din original pe 22 noiembrie 2009. Arhivat pe 22 noiembrie 2009 la Wayback Machine
Hultsch, Friedrich. Die Elemente der ägyptischen Theilungsrechnung (germană) . — Leipzig: S. Hirzel, 1895.
Knorr, Wilbur R. Techniques of fractions in ancient Egypt and Greece (engleză) // Historia Mathematica : jurnal. - 1982. - Vol. 9 . - P. 133-171 .
Luneburg, Heinz. Leonardi Pisani Liber Abbaci oder Lesevergnügen eines Mathematikers (germană) . — Mannheim: B.I. Wissenschaftsverlag, 1993.
Martin, G. Fracții egiptene dense (engleză) // Tranzacții ale Societății Americane de Matematică . - 1999. - Vol. 351 . - P. 3641-3657 .
Menninger, Karl W. Cuvinte numerice și simboluri numerice: O istorie culturală a numerelor . — MIT Press , 1969.
Robins, Gay; Taci, Charles. Papirusul matematic Rhind: un text egiptean antic (engleză) . - Dover, 1990.
Stewart, BM Sume ale divizorilor distincti (nedefiniti) // American Journal of Mathematics . - 1954. - T. 76 . - S. 779-785 .
Stewart, I. Enigma cămilei care dispare // Scientific American . - Springer Nature , 1992. - Nr. iunie . - P. 122-124 .
Struik, Dirk J. O istorie concisă a matematicii (nedefinită) . - Dover, 1967. - S. 20-25 .
Takenouchi, T. Pe o ecuație nedeterminată (neopr.) // Proc. Soc. Fizico-Matematică. al Japoniei, a 3-a ser.. - 1921. - Vol . 3 . - S. 78-92 .
Tenenbaum, G.; Yokota, H. Lungimea și numitorii fracțiilor egiptene (nedefinite) // Journal of Number Theory . - 1990. - T. 35 . - S. 150-156 .
Vose, M. Fracții egiptene (nedefinite) // London Mathematical Society . - 1985. - T. 17 . - S. 21 .
Wagon, S. Mathematica in Action (neopr.) . — W. H. Freeman, 1991. - S. 271 -277.

Link -uri

David Eppstein. Fracții egiptene . Arhivat din original pe 19 februarie 2012. (nedefinit)
Fracții egiptene . Arhivat din original pe 19 februarie 2012. (nedefinit)
Matematică în papirusuri egiptene (2000). Arhivat din original pe 19 februarie 2012. (nedefinit)
Weisstein, Eric W. Egyptian Fraction (engleză) pe site-ul Wolfram MathWorld .
Brown, Kevin. RMP 2/n-lea tabel (link indisponibil) . Consultat la 24 decembrie 2006. Arhivat din original pe 16 octombrie 2006. (nedefinit)

Dicționare și enciclopedii	Mare catalană