Descompunerea unei fracții raționale în cele mai simple

Descompunerea unei fracții raționale în cele mai simple este o reprezentare a unei fracții raționale ca sumă a unui polinom și a celor mai simple fracții. Descompunerea în cele mai simple este folosită în multe probleme, de exemplu, pentru integrare [1] , expansiune într-o serie Laurent [2] , calculul transformării Laplace inverse a funcțiilor raționale [3] .

Definiție

O fracție rațională este numită cea mai simplă dacă numitorul ei este gradul unui polinom ireductibil și gradul numărătorului său este mai mic decât gradul acestui polinom ireductibil. [patru]

Reprezentarea unei fracții sub forma , unde este un polinom și fracțiile sunt simple, se numește descompunerea unei fracții în simplu . ${\frac {P(x)}{Q(x)}}=G(x)+\sum _{i=1}^{n}{\frac {P_{i}(x)}{ Q_{i}(x)}}$ $G(x)$ ${\frac {P_{i}(x)}{Q_{i}(x)))$ ${\frac {P(x)}{Q(x)))$

O astfel de reprezentare există pentru orice fracție rațională dintr- un câmp și este unică până la o permutare a termenilor.

Metode de descompunere

Selectarea întregii părți

Orice fracție rațională dintr-un câmp poate fi reprezentată în mod unic ca sumă a unui polinom (numită parte întreagă a fracției) și a unei fracții proprii (numită parte fracțională). [5] La rândul său, orice fracție proprie poate fi descompusă în suma doar a fracțiilor simple fără termen polinomial. Astfel, problema descompunerii unei fracții în cea mai simplă poate fi rezolvată în două etape: mai întâi, descompuneți în suma părților întregi și fracționale (această procedură se numește selecția părții întregi) și de ce să descompuneți partea fracțională în suma celor mai simple.

Selectarea părții întregi are loc prin împărțirea într-o coloană a polinomului din numărător la polinomul din numitor. Coeficientul incomplet rezultat este partea întreagă, iar restul împărțit la dividend este partea fracțională.

Algoritmul de împărțire într-o coloană la fiecare iterație primește o nouă valoare a restului și a coeficientului. Înainte de a începe, setăm valoarea restului egală cu dividendul și valoarea coeficientului egală cu 0.

Dacă gradul restului este mai mic decât gradul divizorului, atunci algoritmul se termină.
Fie termenul rămas cu gradul cel mai înalt, fie termenul divizor cu gradul cel mai înalt. Apoi adăugăm la cât și scădem din rest și trecem la pasul 1. [6] $ax^{n)$ ${\displaystyle bx^{m))$ ${\frac {a}{b}}x^{nm}$ ${\frac {a}{b}}x^{nm}Q(x)$

Astfel, la sfârșit obținem coeficientul incomplet și restul . Ca rezultat , , unde este o fracție adecvată care se extinde într-o sumă de fracții simple. Problema s-a redus la expansiunea în suma celor mai simple fracții regulate. $G(x)$ $R(x)$ ${\frac {P(x)}{Q(x)}}=G(x)+{\frac {R(x)}{Q(x)))$ ${\frac {P(x)}{Q(x)))$

În ciuda faptului că majoritatea metodelor de descompunere a unei fracții adecvate în cele mai simple pot fi aplicate și uneia improprii, toate aceste metode sunt mult mai complicate decât împărțirea polinoamelor într-o coloană. Găsirea preliminară a coeficienților părții întregi prin împărțirea într-o coloană reduce numărul de coeficienți care vor trebui căutați prin metode „complexe”, simplificând astfel calculele.

Metoda coeficienților nedeterminați

Metoda coeficienților nedeterminați este de a nota expansiunea în cei mai simpli cu coeficienți necunoscuți, de a alcătui un sistem de ecuații pentru acești coeficienți și de a-l rezolva. Fie o fracție proprie în notație ireductibilă, fie descompunerea numitorului în factori ireductibili. Atunci descompunerea în cel mai simplu are forma . Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu . Obținem egalitatea polinoamelor . Polinoamele sunt egale atunci când coeficienții lor la aceleași puteri sunt egali. Echivalându-le, obținem un sistem de ecuații algebrice liniare cu ecuații și necunoscute. Rezolvând-o, obținem valorile dorite . [7] ${\frac {P(x)}{Q(x)))$ $Q(x)=(Q_{i_{1}}(x))^{m_{1}}...(Q_{i_{n}}(x))^{m_{n}}$ $Q(x)$ ${\frac {P(x)}{Q(x)}}=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{m_{i}}{\frac {A_{ij}}{(Q_{i}(x))^{j}}}$
$Q(x)$ $P(x)=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{m_{i}}A_{ij}(Q_{1}(x))^{ m_{1}}...(Q_{i-1}(x))^{m_{i-1}}(Q_{i}(x))^{m_{i}-j}(Q_{i +1}(x))^{m_{i+1}}...(Q_{n}(x))^{m_{n}}$
$A_{{ij}}$ $n$ $n$ $A_{{ij}}$

Ecuațiile rezultate sunt adesea destul de greoaie. Prin urmare, în practică, prin substituție, ei încearcă să obțină ecuații mai simple. Schema generală a acestei tehnici este următoarea: egalitatea este înmulțită cu un polinom și apoi o anumită valoare este substituită în ea în loc de x. Cel mai adesea, înmulțiți cu și înlocuiți-i rădăcina. Astfel, aproape toți termenii dispar și se obține o ecuație destul de simplă, care permite ca unul dintre coeficienți să fie calculat aproape imediat. Această tehnică vă permite să găsiți coeficienți la puteri mai mari ale factorilor liniari. [8] Puteți folosi chiar și o rădăcină care nu aparține câmpului principal ca rădăcină inline. De exemplu, numerele reale folosesc adesea substituții complexe de rădăcină și apoi echivalează părțile reale și imaginare ale ecuației. Puteți face același lucru pentru un câmp arbitrar. Cu toate acestea, această ecuație nu este necesară, ecuațiile lipsă pot fi obținute în alte moduri. Substituția infinitului este de asemenea folosită uneori: se înmulțesc cu unul dintre polinoamele liniare incluse în expansiune și înlocuiesc infinitul (aici corectitudinea fracției devine esențială). Această tehnică vă permite să găsiți pur și simplu coeficienții la primul grad al factorilor liniari. [9] În general, transformarea ecuației și substituția ulterioară pot fi orice, important este doar ca această substituție să aibă sens și să nu transforme termenii în infiniti. De exemplu, atunci când înlocuiți rădăcina numitorului, trebuie mai întâi să înmulțiți ecuația cu un polinom care elimină diviziunea cu 0, iar când înlocuiți infinitul, să priviți astfel încât nicăieri să apară un termen întreg care conține . ${\frac {P(x)}{Q(x)}}=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{m_{i}}{\frac {A_{ij}}{(Q_{i}(x))^{j}}}$
$Q(x)$

$Q(x)$ ${\frac {P(x)}{Q(x)))$
$X$

Rezolvarea unui sistem de ecuații algebrice liniare este un proces destul de laborios, motiv pentru care în practică se folosesc metode mai puțin universale, dar mai simple.

Metoda de acoperire a lui Heaviside

Metoda Heaviside constă în calcularea directă a coeficienților folosind următoarea formulă. Să existe un factor liniar în descompunerea în factori ireductibili și să fie multiplicitatea acestuia. Descompunerea în cei mai simpli termeni conține termeni de forma , unde . Apoi $Q(x)$ $xa$ $m$ ${\frac {B_{j}}{(xa)^{j}}}$ $1\leq j\leq m$

$B_{m}={\frac {P(x)(xa)^{m}}{Q(x)}}{\Bigr |}_{x=a}$ este formula Heaviside [10]

Formula Heaviside vă permite să obțineți imediat majoritatea coeficienților fără nicio dificultate, motiv pentru care este foarte utilizată în practică. Dacă numitorul unei fracții este descompus în factori liniari, metoda Heaviside poate fi folosită pentru a obține întreaga expansiune dintr-o dată. Dacă nu, atunci calcularea coeficienților rămași necesită utilizarea altor metode, de exemplu, metoda coeficienților nedeterminați.

Metoda lui Lagrange

Metoda Lagrange oferă o altă formulă pentru calcularea coeficienților. Fie rădăcina numitorului multiplicității 1. Atunci coeficientul la este egal cu $A$ $A$ ${\frac {1}{xa)}$

$A={\frac {P(x)}{Q'(x)}}{\Bigr |}_{x=a}$ este formula Lagrange. [unsprezece]

Similar cu metoda Heaviside, metoda Lagrange vă permite să găsiți imediat descompunerea în cea mai simplă dacă numitorul este descompus în factori liniari.

Generalizarea formulei lui Lagrange

Formula lui Lagrange poate fi generalizată pentru rădăcina multiplicității : $m$

$A_{m}=m!{\frac {P(x)}{Q^{(m)}(x))){\Bigr |}_{x=a)$ , unde este coeficientul la . [12] $A.m}$ ${\frac {1}{(xa)^{m)}}$

Astfel, orice coeficient care poate fi găsit folosind această formulă poate fi găsit folosind formula Heaviside și invers.

Eliminarea multiplicatorilor repetați

O modalitate de a găsi coeficienții rămași fără a utiliza metoda coeficienților nedeterminați este de a elimina factorii repeți. [13] Luați în considerare un exemplu.

Să extindem fracția . Să eliminăm factorii care se repetă. . Factorul corect este format doar din factori liniari, ceea ce înseamnă că poate fi extins folosind metoda Heaviside sau Lagrange. Să ne descompunem. . Să extindem parantezele. . Știm deja descompunerea fracției potrivite în unele simple. este descompunerea dorită. ${\frac {1}{(s+1)^{2}(s+2)))$
${\frac {1}{s+1}}\left({\frac {1}{(s+1)(s+2)))\right)$
${\frac {1}{s+1}}\left({\frac {1}{s+1}}-{\frac {1}{s+2}}\right)$
${\frac {1}{(s+1)^{2}}} -{\frac {1}{(s+1)(s+2)))$
${\frac {1}{(s+1)^{2}}}-{\frac {1}{s+1}}+{\frac {1}{s+2}}$

Metoda recursiva

Metoda este de a găsi toți termenii simpli cei mai înalți cu gradul cel mai înalt folosind metoda Heaviside (sau Lagrange generalizată), apoi scădeți din fracția originală și repetați această procedură pentru fracția rezultată. [paisprezece]

Să extindem fracția . Să găsim cei mai înalți termeni simpli: . Scădeți-le din fracția inițială. . Fracția rezultată este suma fracțiilor simple rămase, ceea ce înseamnă că aceste fracții rămase nu sunt altceva decât descompunerea fracției rezultate în fracții simple. Găsim din nou cei mai înalți termeni simpli. . Scădea. . Rezultatul este o fracție adecvată, ceea ce înseamnă că se găsesc toți termenii expansiunii. . ${\frac {1}{(x-1)^{2}(x-2)^{3)))$
$-{\frac {1}{(x-1)^{2}}},{\frac {1}{(x-2)^{3}}}$
${\frac {1}{(x-1)^{2}(x-2)^{3}}}+{\frac {1}{(x-1)^{2}}}- {\frac {1}{(x-2)^{3}}}={\frac {x-4}{(x-2)^{2}(x-1)))$
$-{\frac {2}{(x-2)^{2}}},-{\frac {3}{x-1}}$
${\frac {x-4}{(x-2)^{2}(x-1)}}+{\frac {2}{(x-2)^{2}}}+{\ frac {3}{x-1}}={\frac {3}{x-2}}$
${\frac {1}{(x-1)^{2}(x-2)^{3}}}={\frac {1}{(x-2)^{3}}}- {\frac {1}{(x-1)^{2}}}-{\frac {2}{(x-2)^{2}}}-{\frac {3}{x-1}} +{\frac {3}{x-2}}$

Cea mai mare dificultate în această metodă este scăderea fracțiilor cu reducerea ei ulterioară. Pentru a simplifica acest pas, efectuați următorul truc.

Să-l găsim . Numitorul fracției ne este deja cunoscut: se împarte la produs (fără a lua în considerare multiplicitatea). Prin urmare, sarcina este de a găsi . Pentru a face acest lucru, înmulțim întreaga ecuație cu . Obținem ceea ce este egal cu suma fracțiilor. Dar, deoarece suma fracțiilor proprii este din nou o fracție proprie, suma părților fracționale ale acestor fracții va fi egală cu 0, iar polinomul însuși va fi egal cu suma părților întregi. Astfel, este suficient să găsim doar câtul incomplet al împărțirii acestor fracții și să ignorăm restul. Cu această modificare, această metodă se numește metoda de eliminare a reziduurilor . [cincisprezece] ${\frac {R(x)}{D(x)}}={\frac {P(x)}{Q(x)))-\sum _{i=1}^{n}{ \frac {A_{i}}{(x-x_{i})_{i}^{m}}}$
$D(x)$ $Q(x)$ $(x-x_{i})$ $R(x)$ $D(x)$ $R(x)$

Să luăm un exemplu de mai sus. . Să înmulțim cu . Primul termen este corect, deci poate fi aruncat. Considerăm partea întreagă a celui de-al doilea termen. Să împărțim într -o coloană. Primim . În mod similar, partea întreagă a ultimului termen este -1. Le adunăm și obținem polinomul dorit - .
${\displaystyle {\frac {1}{(x-1)^{2}(x-2)^{3}}}+{\frac {1}{(x-1)^{2}}}- {\frac {1}{(x-2)^{3))))$ $D(x)$
${\frac {1}{(x-1)(x-2)}}+{\frac {(x-2)^{2}}{x-1}}-{\frac {x- 1}{x-2}}$ $(x-2)^{2}$ $x-1$ $x-3$ $x-4$

Transformări simple

Uneori, descompunerea în cea mai simplă poate fi obținută prin simpla transformare a expresiilor. [16]

{\frac {x^{2}-1}{x(x^{2}+1)^{2}}}={\frac {x^{2}-(x^{2}+ 1)+x^{2}}{x(x^{2}+1)^{2}}}={\frac {2x}{(x^{2}+1)^{2}}}- {\frac {1}{x(x^{2}+1)}}={\frac {2x}{(x^{2}+1)^{2}}}-{\frac {(x^ {2}+1)-x^{2}}{x(x^{2}+1)}}={\frac {2x}{(x^{2}+1)^{2}}}- {\frac {1}{x}}+{\frac {x}{x^{2}+1}}

Metoda deducerilor

Formula Heaviside poate fi generalizată la un coeficient arbitrar.

Să existe un factor liniar în descompunerea în factori ireductibili și să fie multiplicitatea acestuia. Descompunerea în cei mai simpli termeni conține termeni de forma , unde . Apoi: $Q(x)$ $xa$ $m$ ${\frac {B_{k}}{(xa)^{k))}$ $1\leq k\leq m$

$B_{k}={\frac {1}{(mk)!}}\left({\frac {P(x)(xa)^{m}}{Q(x)))\dreapta) ^{(mk)}{\Bigr |}_{x=a}$ [12]

Pentru multiplicatorii cu multiplicitate mare, această formulă necesită calculul derivatei unei fracții raționale de ordin înalt, care este o operație destul de consumatoare de timp.

Coeficienții polinoamelor de grad superior

Dacă numitorul celei mai simple fracții conține un polinom ireductibil mai mare decât gradul I, atunci pentru a-i găsi numărătorul, dintre toate metodele enumerate, se poate folosi doar metoda coeficienților nedeterminați. Totuși, această problemă poate fi evitată găsind descompunerea elementară în închiderea algebrică a câmpului (sau, mai precis, în orice extensie care conține câmpul de descompunere a numitorului ), și apoi adăugând termeni cu numitori conjugați. Această metodă este foarte des folosită pentru a găsi descompunerea în cea mai simplă din câmpul numerelor reale. [17]

Luați în considerare un exemplu. Să găsim o descompunere . Să trecem la domeniul numerelor complexe și să extindem numitorul în factori liniari. . Să folosim metoda Heaviside. . Acum adăugați fracții cu numitori conjugați. este descompunerea dorită.
${\frac {1}{(x^{2}+1)(x+1)))$
${\frac {1}{(x+i)(xi)(x+1)}}$
${\frac {\displaystyle {\frac {1}{2}}}{x+1}}+{\frac {\displaystyle {\frac {1}{2i(i+1))}} xi}}-{\frac {\displaystyle {\frac {1}{2i(-i+1)}}}{x+i}}$
${\frac {\displaystyle {\frac {1}{2}}}{x+1}}+{\frac {\displaystyle {\frac {1}{2}}(1-x)}{ x^{2}+1}}$

Combinații de metode

Metodele de mai sus oferă modalități de calculare a coeficienților individuali, dar nu necesită calcularea restului prin această metodă specială. Astfel, puteți combina aceste metode în orice mod doriți: calculați un coeficient prin metoda Heaviside, altul prin metoda Lagrange, iar restul prin metoda coeficienților nedeterminați, care va fi deja mult mai simplă decât dacă toți coeficienții ar fi necunoscuți. . Folosirea metodelor adecvate în cazurile necesare va face posibilă găsirea simplă și eficientă a descompunerii.

Variații și generalizări

În inelul euclidian

Conceptul de cea mai simplă fracție poate fi generalizat într-un mod evident pentru câmpul fracțiilor inelului euclidian . Numim o fracție fracție proprie dacă norma euclidiană a numărătorului ei este mai mică decât norma euclidiană a numitorului său. Numim o fracție proprie cea mai simplă dacă numitorul ei conține într-o anumită măsură un element ireductibil. Apoi descompunerea unei fracții în cele mai simple este definită ca o reprezentare sub forma unei sume a unui element din inelul euclidian și a fracțiilor cele mai simple.

Pentru orice fracție din câmpul fracțiilor inelului euclidian, există o descompunere în cele mai simple, dar nu pentru orice inel euclidian va fi întotdeauna unic. [18] De exemplu, peste numere întregi, fracțiile pot avea mai multe expansiuni: (aici, norma euclidiană este modulul unui întreg, este cea mai simplă fracție, deci este o simplă expansiune a ei însăși, dar, în același timp, am fost capabil să obțină încă o expansiune). ${\frac {1}{4}}={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}$ ${\frac {1}{4))$

Cea mai simplă descompunere este unică pentru toate elementele câmpului de coeficienti ai unui inel euclidian dacă și numai dacă acest inel este fie un câmp, fie este izomorf cu un inel polinomial peste un câmp (mai mult, norma euclidiană este echivalentă cu gradul unui polinom). [19] .

În numere întregi

Pentru numerele întregi, poate fi luată în considerare o definiție alternativă a factorizării. Cerem ca toți cei mai simpli termeni să fie pozitivi. Apoi, pentru orice număr rațional există o factorizare unică în cele mai simple. [douăzeci]

De exemplu, este singura descompunere în termeni cei mai simpli cu cei mai simpli termeni pozitivi. Dacă termenii elementari negativi sunt permisi, atunci, așa cum sa arătat deja mai sus, extinderea nu va mai fi unică. ${\frac {77}{12}}=5+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {2}{3}}$

Vezi și

Note

↑ Zorich, 2019 , p. 292.
↑ Krasnov, 1971 , p. 51.
↑ Krasnov, 1971 , p. 125.
↑ Faddeev, 1984 , p. 187.
↑ Faddeev, 1984 , p. 184.
↑ Faddeev, 1984 , p. 168.
↑ Brazier, 2007 , p. 2.
↑ Gustafson, 2008 , p. 2.
↑ Gustafson, 2008 , p. 5.
↑ Gustafson, 2008 , p. 3.
↑ Hazra, 2016 , p. 28.
↑ 12 Bauldry , 2018 , p. 429.
↑ Gustafson, 2008 , p. patru.
↑ Omul, 2009 , p. 809.
↑ Brazier, 2007 , p. 809.
↑ Kudryavtsev, 2003 , p. 502.
↑ Bauldry, 2018 , p. 430.
↑ Bradley, 2012 , p. 1526.
↑ Bradley, 2012 , p. 1527.
↑ Bradley, 2012 , p. 1528.

Literatură

Zorich V. A. Analiză matematică. Partea 1 . - Ed. a 10-a. — M. : MTsNMO, 2019. — 564 p. (Rusă)
Krasnov M. L., Kiselev A. I., Makarenko G. I. Funcțiile unei variabile complexe. calcul operațional. Teoria stabilității . - M . : Nauka, 1971. - 256 p. (Rusă)
Faddeev DK Prelegeri despre algebră . - M . : Nauka, 1984. - 416 p. (Rusă)
Bauldry WC Fracții parțiale prin calcul // Daniel Alpay Probleme , resurse și probleme în matematică Studii de licență: Jurnal. - 2018. - 9 mai ( vol. 28 , iss. 5 ). — P. 425–437 . — ISSN 1051-1970 . - doi : 10.1080/10511970.2017.1388312 .
Metoda lui Gustafson GB Heviside (ing.) (pdf). Grant B. Gustafson la math.utah.edu (2008). Preluat: 1 iulie 2021.
Brazier RA, Boman EC Cum se calculează descompunerea fracției parțiale fără a încerca cu adevărat // AMATYC Review: Journal. - 2007. - Vol. 21 , nr. 1 . — P. 20–29 . — ISSN 0740-8404 .
Hazra M. Descompunerea fracțiilor parțiale folosind metoda Lagrange // Research Journal Of Pure Science : jurnal. - 2016. - Vol. 5 , nr. 2 . — P. 27–32 . — ISSN 2348-5361 .
Omul Yiu-Kwong. O abordare Heaviside îmbunătățită a expansiunii parțiale a fracțiilor și a aplicațiilor sale // International Journal of MathematicalEducation in Science and Technology : jurnal. - 2009. - 4 august ( vol. 40 , is. 6 ). — P. 808–814 . - doi : 10.1080/00207390902825310 .
Bradley WT, Cook WJ Două dovezi ale existenței și unicității descompunerii parțiale a fracțiunilor (engleză) // Forumul Internațional de Matematică : jurnal. - 2012. - Vol. 7 , nr. 31 . — P. 1517–1535 .
Kudryavtsev L. D. Curs de analiză matematică. În 3 volume. Volumul 1. Calcul diferenţial şi integral al funcţiilor mai multor variabile . - M . : Butarda, 2003. - 704 p. (Rusă)