Metoda coeficienților nedeterminați

Metoda coeficienților nedeterminați este o metodă folosită în matematică pentru a găsi funcția dorită ca o combinație liniară exactă sau aproximativă a unui set finit sau infinit de funcții de bază. Combinația liniară specificată este luată cu coeficienți necunoscuți, care sunt determinați într-un fel sau altul din condițiile problemei luate în considerare. De obicei pentru ele se obține un sistem de ecuații algebrice .

Aplicații

Mai jos sunt problemele care se rezolvă prin metoda coeficienților nedeterminați. Sistemul de ecuații din ele se obține prin egalarea coeficienților la aceleași puteri în polinoame egale.

Descompunerea unei fracții în cea mai simplă

Un exemplu clasic de aplicare a metodei coeficienților nedeterminați este descompunerea unei fracții raționale proprii într-o regiune complexă sau reală în fracții simple .

Fie și polinoame cu coeficienți complexi, iar gradul polinomului este mai mic decât gradul polinomului . Vom presupune că gradul polinomului este , coeficientul termenului conducător al polinomului este 1 și , sunt rădăcini diferite ale polinomului cu multiplicități , respectiv. Prin urmare avem $P$ $Q$ $P$ $Q$ $Q$ $n$ $Q$ $z_{k}$ $k\leq n$ $Q$ $\alpha _{k}\geq 1$

Q(z)=(z-z_{1})^{\alpha _{1}}(z-z_{2})^{\alpha _{2}}..(z-z_{k })^{\alpha _{k)),

\alpha _{1}+\alpha _{2}+...+\alpha _{k}=n,

Funcția este reprezentabilă și, în plus, într-un mod unic, ca o sumă de fracții simple $P/Q$

{\frac {P(z)}{Q(z)}}=\sum _{i=1}^{k}\sum _{j=1}^{\alpha _{i}}{ \frac {A_{i,j}}{(z-z_{i})^{j}}},

unde sunt încă numere complexe necunoscute (numărul lor este egal cu ). Pentru a le găsi, ambele părți ale egalității sunt reduse la un numitor comun. După respingerea și reducerea pe partea dreaptă a termenilor similari, se obține o egalitate, care se reduce la un sistem de ecuații liniare în raport cu . $A_{{i,j}}$ $n$ $A_{{i,j}}$

Notă . Găsirea coeficienților este simplificată dacă are doar rădăcini nemultiple , , i.e. totul și $Q$ $z_{k}$ $k=1,...,n$ $\alpha _{k}=1$

{\frac {P(z)}{Q(z)}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {A_{i}}{z-z_{i}}} .

După înmulțirea cu ultima egalitate și înlocuirea, obținem direct valoarea coeficientului corespunzător $z-z_{k)$ $z=z_{k)$

A_{k}={\frac {P(z_{k})}{\prod \limits _{i\neq k}(z_{k}-z_{i))))),\quad k = 1,...,n.

Integrare

Atunci când se calculează integrala nedefinită a unei funcții raționale, metoda coeficienților nedeterminați este utilizată la descompunerea unei fracții într-o sumă a celor mai simple, așa cum este descris mai sus, precum și în metoda Ostrogradsky , utilizată dacă rădăcinile numitorului unei fracții au o mare multiplicitate. Se folosește și la integrarea iraționalităților formei

${P_{n}(x) \over {\sqrt {ax^{2}+bx+c)}},$

unde este un polinom de gradul n. Apoi $P_{{n}}(x)$

$\int {P_{n}(x) \over {\sqrt {ax^{2}+bx+c)}}dx=P_{n-1}(x){\sqrt {ax^{2 }+bx+c))+\lambda \int {dx \over {\sqrt {ax^{2}+bx+c))}.$

După diferențierea acestei egalități, rezolvarea sistemului de ecuații, se determină coeficienții nedeterminați ai polinomului de gradul n-1, precum și [1] . $P_{n-1}(x)$ $\lambda$

inversare de serie

Dacă o funcție care nu este egală cu zero la este extinsă într- o serie Maclaurin : $f(x)$ $x=0$

f(x)=a_{1}x+a_{2}x^{2}+\ldots ,

atunci există o serie Maclaurin cu funcția opusă:

1/f(x)=b_{1}x+b_{2}x^{2}+\ldots ,

Coeficienții acestei serii pot fi găsiți prin înmulțirea acestor două egalități și aplicând metoda coeficienților nedeterminați. Se va obține un sistem triunghiular infinit de ecuații liniare, din care se vor găsi succesiv coeficienții necesari.

Într-un mod similar, dar mai greoi, puteți găsi coeficienții seriei de funcții inverse :

g(x)=c_{1}x+c_{2}x^{2}+\ldots ,

În acest caz, se utilizează raportul , adică întreaga serie pentru este înlocuită în seria pentru . $g(f(x))=x$ $f(x)$ $X$ $g(x)$

Suma puterilor

Ca exemplu particular, putem cita problema găsirii unei formule de k-lea grade: . Vom căuta răspunsul sub forma unui polinom de gradul al- lea de . Coeficienții acestui polinom pot fi găsiți folosind metoda coeficienților nedeterminați. $\sum _{i=0}^{n}i^{k)$ $k+1$ $n$

Exemplu . Caut in forma . $\sum _{i=0}^{n}i^{3)$ $p(n)=an^{4}+bn^{3}+cn^{2}+dn+e$

Prin definiție , precum și . Înlocuind polinomul în formă redusă și echivalând coeficienții la aceleași puteri, obținem un sistem de determinare a acestora: $p(n)-p(n-1)=n^{3)$ $p(1)=1$

{\begin{cases}4a-1=0\\-6a+3b=0\\4a-3b+2c=0\\-a+b-c+d=0\\a+b+c +d+e=1\end{cases}},

unde obținem răspunsul: $\sum _{i=0}^{n}i^{3}={\frac {1}{4}}n^{4}+{\frac {1}{2}}n^{ 3}+{\frac {1}{4}}n^{2}={\frac {n^{2}(n+1)^{2}}{4}}$

Găsirea unei anumite soluții la o ecuație diferențială neomogenă

Într-un fel, această aplicație este o generalizare a celei anterioare - în acel caz, s- a căutat soluția ecuației diferențelor, dar aici se caută soluția ecuației . $\Delta p(n)=n^{3)$ $a_{n}f^{(n)}(x)+\ldots +a_{2}f''(x)+a_{1}f'(x)+a_{0}f(x) =g(x)$

De obicei, metoda coeficienților nedeterminați este utilizată în cazurile în care partea dreaptă este un polinom algebric sau trigonometric .

Note

↑ Kudryavtsev L. D. Analiză matematică. - M . : Şcoala superioară , 1970. - T. 1. - S. 369-370. — 50.000 de exemplare.

Link -uri

Exemple interesante: descompunerea fracțiilor