Inel euclidian

Inelul euclidian este un inel algebric general în care există un analog al algoritmului euclidian .

Definiție

Un inel euclidian este o regiune de integritate , pentru care funcția euclidiană ( norma euclidiană ) este definită , astfel încât împărțirea este posibilă cu un rest în normă mai mic decât divizorul, adică pentru oricare există o reprezentare pentru care sau [ 1] . $R$ $d \colon R \setminus \{ 0 \} \to \mathbb N_0$ $a,b\în R,\,b\ne 0$ $a=bq+r$ $d(r)<d(b)$ $r=0$

Restricție suplimentară

Adesea, o restricție suplimentară este impusă normei euclidiene: pentru orice diferit de zero și din inel . Dacă se dă o normă care nu îndeplinește această condiție, ea poate fi corectată prin redefinirea: $d(a)\leqslant d(ab)$ $A$ $b$ $R$ $R$

d'(a) = \min_{x\in R\setminus\{0\}} d(ax)

O astfel de normă satisface inegalitatea dorită, totuși, algoritmul anterior de împărțire cu rest necesită o corecție (pentru și se împarte cu un rest: , unde și , iar din moment ce rezultă din definiție , reprezentarea dorită se obține cu ). $x\în R$ $d'(b) = d(bx)$ $topor$ $bx$ $ax = bxq' + r'x$ $r' = a - bq'$ $d(r'x)<d(bx)=d'(b)$ $d'(r')\leqslant d(r'x)$ $a = bq' + r'$ $d'(r')<d'(b)$

Nu există atât de multe avantaje ale unei astfel de norme - toate elementele inversabile au aceeași valoare de normă, iar minimul tuturor elementelor (finite), divizorii proprii ai elementului au o valoare de normă mai mică și, de asemenea, simplifică demonstrarea directă a factorialitatea inelelor euclidiene (fără referire la factorialitatea inelelor principale) idealuri , a căror demonstrare necesită utilizarea inducției transfinite ). Dar proprietățile de bază ale inelelor euclidiene rămân valabile chiar și fără această proprietate suplimentară. $A$

Exemple

Inel de numere întregi . Un exemplu de funcție euclidiană este valoarea absolută . $\mathbb {Z}$ $|\cdot|$
Inelul numerelor întregi gaussiene (unde este unitatea imaginară , ) cu normă este euclidian. ${\mathbb {Z}}[i]$ $i$ $i^{2}=-1$ $d(a+ib) = a^2 + b^2$
Un câmp arbitrar este un inel euclidian cu norma egală cu 1 pentru toate elementele, cu excepția lui 0. $K$
Inel de polinoame într-o variabilă peste un câmp . Un exemplu de funcție euclidiană este gradul deg. $K[x]$ $K$
Inelul seriei de puteri formale peste un câmp este un inel euclidian. Norma unei serii de puteri este numărul primului coeficient diferit de zero din ea. $K[[x]]$ $K$
- În general, orice inel local este euclidian dacă idealul maxim din el este principal și intersecția tuturor puterilor sale constă numai din zero. Norma unui element inversabil este egală cu 0, a unuia ireversibil diferit de zero - gradul maxim al idealului maxim care conține elementul dat.
Inelul de funcții care sunt holomorfe pe o mulțime compactă conectată în (fiecare dintre ele trebuie să fie holomorfă într-o vecinătate a acestei mulțimi compacte; două astfel de funcții sunt considerate egale în dacă coincid într-o vecinătate a lui ) este, de asemenea, euclidian. Norma unei funcții non-nule este numărul de zerouri (ținând cont de multiplicitatea) pe care le ia . $H(K)$ $K$ $\mathbb {C}$ $H(K)$ $K$ $K$
O intersecție numărabilă de inele euclidiene (subinele într-un anumit inel) nu trebuie să fie un inel euclidian (și chiar noetherian sau factorial ). De exemplu, un inel de funcții care sunt holomorfe pe un cerc deschis este o intersecție a inelelor euclidiene de funcții care sunt holomorfe pe cercuri închise conținute în , dar nu este nici noetherian, nici factorial, respectiv, și non-euclidian. $H(\mathbb D)$ $\mathbb D$ $H(K)$ $K$ $\mathbb D$
Inelul fracțiilor unui inel euclidian prin sistemul multiplicativ este, de asemenea, euclidian. Norma unei fracții din se ia: $S^{-1}R$ $R$ $S$ $X$ $S^{-1}R$

d_S(x) = \min\{d_R(u):\,(u,s)\în R\time S, \, x=u/s\},

unde este norma euclidiană în , și este norma în .

d_R

R

d_S

S^{-1}R

Împărțirea cu rest se definește astfel: să fie două fracții nenule și din S −1 R . Prin definiția unei norme în există elemente în și în astfel încât și . După împărțirea cu un rest în inelul de elemente și - , astfel încât , rezultă ; inegalităţile rezultă din construcţie .

x=r/t

y

S^{-1}R

u

R

s

S

y=u/s

d_S(y) = d_R(u)

R

rs

u

rs = uq + r

d_R(r')<d_R(u)

r/t = (u/s)(q/t) + r'/ts

d_S(r'/ts)\leqslant d_R(r')< d_R(u) = d_S(y)

Inelul de zecimale finite este euclidian , deoarece este inelul de câte a inelului de numere întregi . $\mathbb {Z}$
Inelele de funcții raționale peste un câmp cu poli fiți sunt euclidiene , deoarece astfel de inele sunt inele de câte ale inelului polinomial . $\mathbb {C}$ $\mathbb{C}[x]$

Algoritmul lui Euclid

În inelul euclidian, implementăm algoritmul euclidian pentru găsirea celui mai mare divizor comun a două numere (elemente). Fie inițial date două elemente și , și și . Împărțirea cu un rest dă un element cu . Dacă este diferit de zero, puteți aplica din nou împărțirea cu un rest pentru a obține elementul și așa mai departe. Acest lucru generează un lanț de valori cu . Cu toate acestea, acest lanț este întrerupt, deoarece orice număr natural poate depăși strict doar un număr finit de alte numere naturale. Aceasta înseamnă că pentru unii restul este zero și nu este egal, este cel mai mare divizor comun al elementelor și . Prin urmare, într-un inel euclidian, terminarea algoritmului euclidian este garantată. Strict vorbind, implementarea algoritmului euclidian este posibilă în inelele euclidiene. $a_{0}$ $a_{1}$ $d(a_1)\leqslant d(a_0)$ $a_1\ne0$ $a_2 = a_0 - a_1q_1$ $d(a_2)<d(a_1)$ $a_3 = a_1 - a_2q_2$ $a_0, a_1, a_2, \dots$ $d(a_0)>d(a_1)>d(a_2)>\dots$ $n$ $a_{{n+1}}$ $un$ $a_{0}$ $a_{1}$

Proprietățile inelelor euclidiene

Într-un inel euclidian, fiecare ideal este principal (în special, toate inelele euclidiene sunt noetheriene ).
- Fie un ideal arbitrar în inelul euclidian. Dacă conține doar , este cea principală. În caz contrar, printre elementele sale non-nule, există un element cu o normă minimă (principiul minim pentru numerele naturale). Împarte toate celelalte elemente ale idealului: prezentând un element arbitrar sub forma c , rezultă că este și un element al idealului și trebuie să fie zero, deoarece norma sa este mai mică decât y . Prin urmare, idealul este cuprins în ideal . Pe de altă parte, fiecare ideal care conține elementul conține idealul , ceea ce implică că acesta este idealul principal. $eu$ $0$ $f$ $g \în I$ $g = fq + r$ $d(r) < d(f)$ $r$ $eu$ $f$ $eu$ $(f)$ $f$ $(f)$ $I = (f)$
Fiecare inel euclidian este factorial, adică fiecare element poate fi reprezentat printr-un produs finit al elementelor simple, și, în plus, unic (până la permutarea și înmulțirea lor prin elemente inversabile). Factorialitatea este o proprietate comună a tuturor inelelor ideale principale .
Fiecare inel euclidian este închis integral , adică dacă fracția , este rădăcina unui polinom cu cel mai mare coeficient egal cu 1, atunci este divizibil cu . Închiderea integrală este o proprietate comună a tuturor inelelor factoriale. $R$ $a/b,\,a,b\în R$ $f\în R[x]$ $A$ $b$

Proprietățile modulelor peste un inel euclidian

Fie un inel euclidian. Apoi, modulele generate finit au următoarele proprietăți: $R$ $R$

Fiecare submodul al unui -modul generat finit este generat finit (o consecință a inelului fiind noetherian ). $N$ $R$ $M$ $R$
Rangul unui submodul nu depășește rangul unui modul (o consecință a principatului idealurilor în este o teoremă de structură pentru modulele generate finit peste domeniile idealurilor principale ). $N$ $M$ $R$
Un submodul al unui modul liber este, de asemenea, gratuit. $R$
Un homomorfism de module finit generate se reduce întotdeauna la forma normală. Adică există generatoare (o bază, dacă modulul este liber) ai modulului N care formează o (bază) a modulului M , numărul și sunt elemente ale inelului astfel încât împarte și pentru i > k , și pentru restul - . Mai mult, coeficienții sunt determinați în mod unic până la înmulțirea cu elemente inversabile ale inelului . (Faptul că inelul este euclidian este direct implicat în această proprietate .) $A\colon N\la M$ $R$ $u_1, u_2, \dots, u_n$ $v_1, v_2, \dots, v_m$ $k\leqslant \min\{m,n\}$ $a_1,\dots,a_k$ $R$ $a_{i}$ $a_{i+1}$ $Au_i = 0$ $Au_i = a_iv_i$ $a_1,\dots,a_k$ $R$ $R$

Vezi și

Note

↑ Kurosh, 1962 , p. 91.

Link -uri

Weisstein, Eric W. The Euclidean Ring la Wolfram MathWorld .
B. L. van der Waerden. Algebră. - Sankt Petersburg. : Lan, 2004. - 624 p. — ISBN 5-8114-0552-9 .
Kurosh A. G. Prelegeri despre algebră generală. - M. : Fizmatlit, 1962. - 400 p.
Rodossky K. A. Algoritmul lui Euclid. - M. : Nauka, 1988. - 239 p.
J. von zur Gathen, J. Gerhard. Algebră computerizată modernă. - Cambridge University Press, 1999. - 771 p. - ISBN 0-521-82646-2 .

Diagrama de includere a unor clase de inele
inele comutative ⊃ inele integrale ⊃ inele factoriale ⊃ domenii ideale principale ⊃ inele euclidiene ⊃ câmpuri