Pachetul Hopf

Fibrația Hopf este un exemplu de fibrare local trivială a unei sfere tridimensionale peste una bidimensională cu un cerc de strat:

S^{1}\hookrightarrow S^{3}{\xrightarrow {\p\,}}S^{2}

Pachetul Hopf nu este banal. Este, de asemenea, un exemplu important de pachet principal .

Una dintre cele mai simple moduri de a defini acest pachet este de a reprezenta sfera 3 ca sfera unitară în , iar sfera 2 ca linie proiectivă complexă . Apoi afișajul: $S^{3}$ $\mathbb {C} ^{2}$ $S^{2}$ $\mathbb {C} P^{1}$

p:(z_{1},z_{2})\mapsto (z_{1}:z_{2})

și definește pachetul Hopf. În acest caz, fibrele mănunchiului vor fi orbitele acțiunii libere ale grupului : $S^{1}$

\theta :(z_{1},z_{2})\mapsto (\theta z_{1},\theta z_{2})

unde cercul este reprezentat ca o mulțime de unități modulo numere complexe:

S^{1}=\{\theta \mid \theta \in \mathbb {C} ,\,|\theta |=1\)

Generalizări

În mod similar, o sferă de dimensiuni impare este stratificată cu un cerc de strat peste . Uneori, acest pachet este numit și pachetul Hopf. $S^{2n+1}$ $\mathbb {C} P^{n}$

De asemenea (pe lângă „ complex ”) există versiuni reale , cuaternioane și octave ale unor astfel de familii de pachete. Ele încep cu:

S^{0}\hookrightarrow S^{1}\rightarrow S^{1)

(real),

S^{1}\hookrightarrow S^{3}\rightarrow S^{2}

(complex - fibrare Hopf corectă),

S^{3}\hookrightarrow S^{7}\rightarrow S^{4)

(cuaternion),

S^{7}\hookrightarrow S^{15}\rightarrow S^{8}

(octavă).

Astfel de mănunchiuri ale sferei , pentru care atât stratul, baza, cât și spațiul total sunt sfere, sunt posibile numai în cazurile . Exclusivitatea acestor cazuri se datorează faptului că înmulțirea în fără divizori zero poate fi definită doar pentru . $S^{n}$ $n\in \{1,3,7,15\)$ $\mathbb {R} ^{n}$ $n\in \{1,2,4,8\)$

Vezi și

Sfera Riemann este o linie proiectivă complexă, varietatea de bază a mănunchiului Hopf
Grupul unitar U(1) este grupul de structură al mănunchiului Hopf
Sfera tridimensională - spațiul total al fibrației Hopf
Sfera Poincaré și sfera Bloch — pachetul Hopf în fizică descrie polarizarea unei unde transversale, starea unui sistem cuantic cu două niveluri, distorsiunea relativistă a sferei cerești și așa mai departe [1] [2]
Sfera lui Milnor

Note

↑ R. Penrose, W. Rindler. Spinorii și metodele spațiu-timp, spinor și twistor în geometria spațiu-timp . - Moscova „Mir”, 1988. - S. 78. (Rusă) Copie arhivată (link inaccesibil) . Data accesului: 1 februarie 2012. Arhivat din original pe 3 octombrie 2015. (nedefinit)
↑ D.N. Klyshko. Faza geometrică a fructelor de pădure în procesele oscilatorii // Uspekhi fizicheskikh nauk : zhurnal. - Academia Rusă de Științe , 1993. - T. 163 , Nr. 11 . - S. 1 . (Rusă)

Pachetul Hopf

Generalizări

Vezi și

Note

Link -uri