Sfera Riemann

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 19 februarie 2022; verificarea necesită 1 editare .

Sfera Riemann este o reprezentare vizuală a unei mulțimi sub forma unei sfere, la fel cum mulțimea numerelor reale este reprezentată sub forma unei linii drepte și modul în care mulțimea numerelor complexe este reprezentată sub forma unui plan . Din acest motiv, termenul „sferă Riemann” este adesea folosit ca sinonim pentru termenul „ set de numere complexe completate de un punct la infinit ”, împreună cu termenul „ plan complex extins ”. [unu] ${\widehat {\mathbb {C} }}=\mathbb {C} \cup \{\infty \}$

Într-o abordare mai formală, sfera Riemann este înțeleasă ca o sferă în spațiu dată de ecuația , cu o proiecție stereografică în plan , identificată cu planul complex. Această construcție definită formal este cea care va fi discutată mai jos. [unu] $\mathbb {R} ^{3}$ $x^{2}+y^{2}+z^{2}=z$ $Oxy$

Descriere

Să considerăm un spațiu euclidian tridimensional . Coordonatele punctelor din spațiul tridimensional vor fi notate cu . Considerăm o sferă tangentă la plan într-un punct cu diametrul . O astfel de sferă este dată de ecuație $\mathbb {R} ^{3}$ $(\xi,\eta,\zeta)\in \mathbb {R} ^{3)$ $\mathbb {R} ^{3}$ $S$ $O\xi \eta$ $(0;0;0)$ $unu$

S\colon \xi ^{2}+\eta ^{2}+\zeta ^{2}=\zeta

Fiecare punct al planului poate fi asociat cu un punct al sferei , după cum urmează. Să desenăm printr-un punct și o linie; această dreaptă va intersecta sfera într-un alt punct, pe care îl vom considera corespunzător punctului . O astfel de corespondență se numește proiecție stereografică centrată pe . Fiecărui punct al planului îi asociază în mod unic un punct al sferei. Cu toate acestea, nu fiecare punct de pe sferă corespunde unui punct din plan: niciun punct din plan nu corespunde unui punct. Astfel, avem o corespondență unu-la-unu între plan și . $(\xi ;\eta ;0)\in O\xi \eta$ $M\în S$ $N=(0;0;1)$ $(\xi ;\eta ;0)$ $(\xi ;\eta ;0)$ $N$ $N$ $O\xi \eta$ $S\setminus \{N\}$

Planul poate fi identificat cu planul complex , . Apoi, corespondența definită mai sus definește o mapare continuă unu-la-unu . Pentru a finaliza această mapare la o bijecție la întreaga sferă, completăm mulțimea cu încă un punct, pe care îl vom considera imaginea inversă a punctului . Vom numi acest punct punctul de la infinit și îl vom nota cu . Avem o bijecție . Mulțimea se numește mulțime extinsă de numere complexe , sfera se numește sfera Riemann . [unu] $O\xi \eta$ $\mathbb {C}$ $x+iy=(\xi,\eta,0)$ $\tau \colon \mathbb {C} \rightarrow S\setminus \{N\)$ $\mathbb {C}$ $N$ $\infty$ $\pi \colon \mathbb {C} \cup \{\infty \}\rightarrow S$ ${\mathbb C}\cup \{\infty \}$ $S$

Construcția descrisă este adesea folosită în multe manuale pentru a defini vizual setul extins de numere complexe. Într-adevăr, topologia acestui set poate fi definită prin setarea mulțimilor deschise ca preimagini ale mulțimilor deschise în raport cu , iar operațiile la infinit se extind prin continuitate. Definiția folosind sfera Riemann descrie pe deplin esența extinderii mulțimii de numere complexe, în plus, reprezintă interpretarea sa vizuală. $\pi$

Definiție formală

Sferă dată în spațiu de ecuație $S$ $R^{3}$

S\colon \xi ^{2}+\eta ^{2}+\zeta ^{2}=\zeta

împreună cu maparea dată ca $\pi \colon S\rightarrow \mathbb {C} \cup \{\infty \)$

\pi (\xi ,\eta ,\zeta )={\frac {\xi +i\eta }{1-\zeta }}

numită sfera Riemann .

Maparea din definiție poate fi inversată, sensul acesteia nu se va schimba.

Coordonate

Coordonatele numerice ale setului extins de numere complexe sunt introduse în trei moduri:

coordonată complexă afină capabilă să preia valoarea ; $z$ $\infty$
coordonate complexe omogene proiective ; $[z_{0}:z_{1}]$
coordonate reale tridimensionale legate de ecuația: $\xi ,\eta ,\zeta$

\xi ^{2}+\eta ^{2}+\zeta ^{2}=\zeta

Trecerea de la o coordonată la alta este dată de formulele:

z={\frac {z_{1}}{z_{0}}}

z_{0}:z_{1}=\left[{\begin{matrix}\zeta :(\xi +i\eta )&\Leftarrow \zeta >0\\0:1&\Leftarrow \zeta =0\end {matrice}}\dreapta.

\left\{{\begin{matrix}\xi +i\eta ={\dfrac {z}{1+|z|^{2}}}\\\zeta ={\dfrac {|z| ^{2}}{1+|z|^{2}}}\end{matrice}}\dreapta.

z={\frac {\xi +i\eta }{1-\zeta ))

[unu]

Metrica sferică

Sfera Riemann ne permite să introducem o altă metrică pe mulțime, diferită de cea euclidiană. Această metrică se numește metrica sferică . Este definită ca metrica euclidiană între punctele corespunzătoare din sfera Riemann. Adică pentru două numere $\mathbb {C}$ $z_{1},z_{2}\in \mathbb {C}$

\rho (z_{1},z_{2})={\sqrt {(\xi _{1}-\xi _{2})^{2}+(\eta _{1}-\ eta _{2})^{2}+(\zeta ^{2}-\zeta ^{2})}}

Nu este greu să obții o expresie directă pentru o asemenea distanță.

\rho (z_{1},z_{2})={\frac {|z_{2}-z_{1}|}{{\sqrt {1+|z_{1}|^{2} }}{\sqrt {1+|z_{2}|^{2}}}}}

Metrica euclidiană și sferică sunt echivalente pe . Particularitatea metricii sferice este că poate fi extinsă la un set extins de numere complexe, spre deosebire de cea euclidiană. O astfel de continuare este definită exact în același mod. Pentru două elemente $\mathbb {C}$ $z_{1},z_{2}\in \mathbb {C} \cup \{\infty \)$

\rho (z_{1},z_{2})={\sqrt {(\xi _{1}-\xi _{2})^{2}+(\eta _{1}-\ eta _{2})^{2}+(\zeta ^{2}-\zeta ^{2})}}

Expresia directă pentru o astfel de distanță, când unul dintre puncte este infinit, se scrie diferit.

\rho (z,\infty )={\frac {1}{\sqrt {1+|z|^{2)})}

[unu]

Automorfisme

Automorfismele unui domeniu sunt numite mapări bijective holomorfe ale acestui domeniu în sine. În cazul automorfismelor întregului set extins de numere complexe, se folosește de obicei termenul „automorfisme ale sferei Riemann” - un exemplu al modului în care termenul „sferă Riemann” este folosit ca sinonim pentru termenul „mult extins de complexe”. numere”. Automorfismele sferei Riemann sunt transformări liniare fracționale (sau transformări Möbius ). Lăsa $U\subset \mathbb {C} \cup \infty$

\left|{\begin{matrice}a&b\\c&d\end{matrice}}\right|\neq 0

Transformarea liniară fracționată este definită ca $f\colon \mathbb {C} \cup \infty \rightarrow \mathbb {C} \cup \infty$

f(z)={\frac {az+c}{bz+d)}

extinsă la continuitate în toate punctele în care această expresie nu este direct definită.

Mapările fracționale liniare pe sfera Riemann transformă cercuri în cercuri. [2]

Aplicații

În afară de matematică, sfera Riemann este renumită în fizica teoretică .

În relativitatea specială , sfera Riemann este un model al sferei cerești . Transformările Möbius sunt legate de transformările Lorentz și descriu distorsiunea sferei cerești pentru un observator care se mișcă cu viteza aproape de lumină.

Transformările Möbius și Lorentz sunt, de asemenea, legate de spinori . În mecanica cuantică , sfera Riemann parametriză stările sistemelor descrise de un spațiu bidimensional (vezi q-bit ), în special spinul particulelor masive cu spin 1/2, cum ar fi electronul . În acest context, sfera Riemann se numește sfera Bloch și coordonatele latitudine-longitudine sunt folosite pe ea aproape ca pe o sferă obișnuită, doar latitudinea este numărată de la pol și unghiul este împărțit la 2, inclusiv (vezi Fig. ) $\theta$ $0<\theta <\pi /2$

În acest caz, următoarele relații sunt adevărate:

z_{0}:z_{1}=\cos \theta :e^{i\varphi }\sin \theta

\left\{{\begin{matrix}\xi +i\eta =e^{i\varphi }\sin {2\theta }\\\zeta -1=\cos {2\theta }\end{matrix} }\dreapta.

În optica de polarizare , sfera Riemann este numită sfera Poincaré , iar axele de coordonate sunt numite parametri Stokes .

Interiorul sferei

Interiorul sferei ( bile ) permite interpretarea semantică în ambele aplicații de mai sus. Deoarece sfera cerească este un set de direcții asemănătoare luminii ale spațiu-timpului, astfel interiorul său corespunde direcțiilor asemănătoare timpului, adică, de fapt, viteze relativiste sub -luminii . Acest spațiu este hiperbolic (are o curbură negativă constantă ca planul Lobaciovski , doar cu dimensiunea 3, nu 2); este supus în mod natural transformărilor Möbius.

Interiorul sferei Bloch corespunde așa-numitelor stări mixte ale q-bitului și este aranjat geometric ca o minge obișnuită.

Cu toate acestea, ambele sunt descrise prin matrici hermitiene 2×2 definite pozitiv, considerate până la înmulțirea cu un număr pozitiv.

Literatură

Shabat BV Introducere în analiza complexă. — M .: Nauka , 1969 . — 577 p.

Link -uri

Sfera Riemann // Marea Enciclopedie Sovietică : [în 30 de volume] / cap. ed. A. M. Prohorov . - Ed. a 3-a. - M . : Enciclopedia Sovietică, 1969-1978.
Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), sfera Riemann , Enciclopedia matematicii , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4

↑ 1 2 3 4 5 Shabat, 1969 , p. 16.
↑ Shabat, 1969 , p. 47.