U(1)

$U(1)$ ( grup unitar de ordinul 1) la matematică - grupul abelian multiplicativ al tuturor numerelor complexe egale în modul cu unu: . Este, de asemenea, un grup Lie unidimensional și este un cerc . Este izomorf cu grupul de rotații ale spațiului real bidimensional. $\{z\in {\mathbb C}:|z|=1\}$ $SO(2)$

Nume și denumiri

Grupul se numește unitar , deoarece un număr complex, modulo unu, poate fi înțeles ca o matrice unitară de mărime . Acest grup este în mod natural izomorf cu grupul de rotație al planului real (deoarece planul complex poate fi privit ca un spațiu real bidimensional ). Este uneori notat ca sau datorita faptului ca patratul acestui grup este un tor ; în unele domenii ale matematicii , produsele mai multor grupe , nu neapărat două, se numesc tori ; vezi de ex. Torul maxim . $1\ ori 1$ $SO(2)$ $T$ ${\mathbb T}$ ${\mathbb T}\time {\mathbb T}$ ${\mathbb T}$

$U(1)$ denumit și cerc complex (unitate) (în analiza complexă : ) sau pur și simplu „cerc” ( sau ). $\partial D$ $S$ $S^{1}$

Unele proprietăți

Grupul este compact și este singurul grup Lie unidimensional compact și conectat posibil (real) . În orice grup compact Lie de dimensiune pozitivă, se poate găsi un subgrup izomorf la . $U(1)$ $U(1)$

Grupul nu este pur și simplu conectat . $U(1)$

Interpretare elementară

Elementele grupului determină de fapt valoarea unghiului : numărul complex al grupului poate fi scris ca (mai mult , va fi deja real ), iar înmulțirea numerelor complexe se va transforma în adunare de unghiuri. Astfel, un grup poate fi înțeles ca un grup de rotații ale unui cerc, sau un grup de rotații ale întregului plan în jurul originii. $U(1)$ $z$ $z=e^{{i\phi }}$ $\phi$ $U(1)$ $SO(2)$

Unghiurile care diferă cu un număr întreg de rotații ( , dacă unghiul este măsurat în radiani ) se vor potrivi. De exemplu, suma a două rotații pe și va fi egală cu zero. Astfel, grupul este izomorf cu grupul de factori al grupului de numere reale modulo . Dacă măsurați unghiul în rotații ( ), atunci - un grup de părți fracționale ale numerelor reale. $2\pi n$ $120^{\circ }=2\pi /3$ $240^{\circ }=4\pi /3$ $U(1)$ ${{\mathbb R}}/2\pi {{\mathbb Z}}$ $2\pi$ $2\pi =360^{\circ }$ $U(1)\aprox {{\mathbb R}}/{{\mathbb Z}}$

Aplicație

Grupul este cel mai important obiect din teoria dualității a lui Pontryagin ; prin ea se determină transformata Fourier . Adesea folosit în orice context care implică numere complexe , adesea fără a le menționa în mod explicit ca grup (" înmulțirea cu un număr modulo unu", etc.). $U(1)$

În fizică , teoria gauge este electrodinamica (cu ecuațiile lui Maxwell ca ecuații clasice de mișcare ). În mecanica cuantică , transformări „nediferențiabile din punct de vedere fizic” ale vectorului de stare al sistemului , care nu schimbă nimic observabil (adică nu schimbă nimic din ceea ce este, în principiu, accesibil observației). A se vedea, de asemenea, gauge invariance . $U(1)$ $U(1)$

Metoda sumelor trigonometrice se bazează pe proprietăți . $U(1)$

U(1)

Nume și denumiri

Unele proprietăți

Interpretare elementară

Aplicație

Vezi și