Un fel de varietate

Genul unui soi este un homomorfism al inelului de cobordism al soiurilor închise într-un anumit inel , de obicei inelul numerelor raționale .

Definiție

Genul φ alege un element φ( X ) dintr-un inel K pentru fiecare varietate X astfel încât

φ( X ∪ Y ) = φ( X ) + φ( Y ) (unde ∪ este o uniune disjunctă )
φ( X × Y ) = φ( X )φ( Y )
φ( X ) = 0 dacă X este cobordant cu zero.

În acest caz, colectoarele luate în considerare pot fi echipate cu o structură suplimentară, de exemplu, o structură de orientare sau o structură spinor.

Inelul K este de obicei câmpul numerelor raționale, dar este considerat și inelul formelor modulare . $\mathbb{Z } _{2}$

Condițiile pe φ pot fi reformulate spunând că φ este un homomorfism al inelului de cobordism al varietăților (ținând cont de structură) într-un alt inel.

Genul seriei puterii formale

O succesiune de polinoame K 1 , K 2 ,... în variabilele p 1 , p 2 ... multiplicativă dacă

1+p_{1}z+p_{2}z^{2}+\ldots =(1+q_{1}z+q_{2}z^{2}+\ldots )(1+r_ {1}z+r_{2}z^{2}+\ldots )

ar trebui să

\sum _{i}K_{i}(p_{1},p_{2},\ldots )z^{i}=\sum _{j}K_{j}(q_{1},q_ {2},\ldots )z^{j}\cdot \sum _{k}K_{k}(r_{1},r_{2},\ldots )z^{k}.

Dacă Q(z) este o serie formală de puteri în z cu intercepta 1, putem defini secvențe multiplicative

K(p_{1},p_{2},p_{3},\ldots )=1+K_{1}(p_{1})+K_{2}(p_{1},p_{2} })+\ldots

Cum

K(p_{1},p_{2},p_{3},\ldots )=Q(z_{1})Q(z_{2})Q(z_{3})\ldots,

unde p k este k -a funcție simetrică elementară cu necunoscute . $z_{i}$

Genul φ de varietăți orientate corespunzătoare seriei de puteri Q este definit ca

\Phi (X)=K(p_{1},p_{2},p_{3},\cdots )

unde p k este k -a clasa Pontryagin a lui X . În acest caz, seria de puteri Q se numește seria caracteristică a genului φ.

Exemple

Genul L și semnătura

Genul L este determinat de seria caracteristică

{{\sqrt {z}} \over \operatorname {th} ({\sqrt {z}})}=\sum _{k\geqslant 0}{2^{2k}B_{2k}z^ {k} \over (2k)!}=1+{z \over 3}-{z^{2} \over 45}+\ldots

unde sunt numerele Bernoulli . Primele valori: $B_{{2k}}$

$L_{0}=1$
$L_{1}={\tfrac {1}{3}}p_{1}$
$L_{2}={\tfrac {1}{45}}(7p_{2}-p_{1}^{2})$
$L_{3}={\tfrac {1}{945}}(62p_{3}-13p_{1}p_{2}+2p_{1}^{3})$
$L_{4}={\tfrac {1}{14175}}(381p_{4}-71p_{1}p_{3}-19p_{2}^{2}+22p_{1}^{2} p_{2}-3p_{1}^{4})$ [1] [2]

Dacă M este o varietate închisă orientată neted de dimensiunea 4n cu clase Pontryagin , atunci valoarea genului L pe clasa fundamentală este egală cu semnătura , adică $p_{i}=p_{i}(M)$ $[M]$ $\sigma (M)$

\sigma (M)=L_{n}([M])

Faptul că L 2 este întotdeauna întreg pentru varietăți netede a fost folosit de John Milnor pentru a demonstra existența unei varietăți liniare 8-dimensionale pe bucăți fără o structură netedă.

Â-gen

Genul Â este determinat de seria caracteristică

Q(z)={{\sqrt {z}}/2 \over \operatorname {sh} ({\sqrt {z}}/2)}=1-z/24+7z^{2}/ 5760-\ldots .

Primele câteva valori

${\hat {A}}_{0}=1$
${\hat {A}}_{1}=-{\tfrac {1}{24}}p_{1}$
${\hat {A}}_{2}={\tfrac {1}{5760}}(-4p_{2}+7p_{1}^{2})$
${\hat {A}}_{3}={\tfrac {1}{967680}}(-16p_{3}+44p_{2}p_{1}-31p_{1}^{3})$
${\hat {A}}_{4}={\tfrac {1}{464486400}}(-192p_{4}+512p_{3}p_{1}+208p_{2}^{2}- 904p_{2}p_{1}^{2}+381p_{1}^{4})$

Proprietăți

Genul Â al unei varietăți spinor este un număr întreg,
- Genul Â al unei varietăți de dimensiune spinor este un întreg par. $4{\pmod {8}}$
Genul Â al unei varietăți spinor este egal cu indicele operatorului Dirac .
Dacă o varietate spinor compactă admite o metrică de curbură scalară pozitivă , atunci genul său Â este zero.

Vezi și

Teorema indicelui Atiyah-Singer

Note

↑ McTague, Carl (2014) „Computing Hirzebruch L-Polynomials” Arhivat la 5 martie 2016 la Wayback Machine .
↑ Secvența OEIS A237111 . _

Link -uri

Metode topologice Friedrich Hirzebruch în geometria algebrică ISBN 3-540-58663-6
Friedrich Hirzebruch, Thomas Berger, Rainer Jung Varietăți și forme modulare ISBN 3-528-06414-5
Milnor, Stasheff, Clasele caracteristice , ISBN 0-691-08122-0
A. F. Kharshiladze (2001), „Clasa Pontryagin” (link indisponibil) , în Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4
Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), „Genurile eliptice” (link indisponibil) , Enciclopedia Matematicii , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4