Clasa fundamentala

Clasa fundamentală este clasa de omologie a unei varietăți orientate , care corespunde „întregii varietăți”. Intuitiv, clasa fundamentală poate fi gândită ca suma simplexelor dimensiunii maxime a unei triangulații adecvate a varietății.

Clasa fundamentală a unui soi este de obicei indicată . $M$ $[M]$

Definiție

Distribuitor orientabil închis

Dacă o varietate de dimensiuni este conectată , orientabilă și închisă , atunci grupul -a de omologie este ciclic infinit : . În acest caz, orientarea varietatii este determinată de alegerea elementului generator al grupului sau izomorfismului . Elementul părinte se numește clasă fundamentală . $M$ $n$ $n$ $H_{n}(M,\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z}$ $\mathbb {Z} \to H_{n}(M,\mathbb {Z} )$

Dacă o varietate orientabilă este deconectată, atunci ca clasă fundamentală se poate asocia formal suma claselor fundamentale ale tuturor componentelor sale conexe . Comparația este formală, deoarece această sumă nu este un element generator pentru grupul . $M=\bigcup \limits _{i}M_{i)$ $\sum \limits _{i}[M_{i}]$ $M_{i}$ $H_{n}(M,\mathbb {Z} )=\bigoplus \limits _{i}H_{n}(M_{i},\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} \oplus \ puncte \oplus \mathbb {Z}$

Varietate non-orientabilă

Pentru o varietate neorientabilă , dacă grupul este conectat și închis, atunci . Elementul generator al unui grup se numește clasa fundamentală a unei varietăți neorientabile . $H_{n}(M;\mathbb {Z} )=0$ $M$ $H_{n}(M;\mathbb {Z} _{2})=\mathbb {Z} _{2)$ $H_{n}(M;\mathbb {Z} _{2})$ $M$

${\mathbb {Z}}_{2}$ Clasa fundamentală a unei varietăți este utilizată în definirea numerelor Stiefel-Whitney .

Varietă cu graniță

Dacă este o varietate orientabilă compactă cu graniță , atunci grupul de omologie relativă --a este ciclic infinit : . Elementul generator al unui grup se numește clasa fundamentală a unei varietăți cu graniță. $M$ $\partial M$ $n$ $H_{n}(M,\partial M)\cong \mathbb {Z}$ $H_{n}(M,\partial M)$

Dualitate Poincaré

Principalul rezultat al teoriei omologice a varietăților este dualitatea Poincaré între grupurile de omologie și coomologie ale unei varietăți. Izomorfismul Poincare corespunzător