Cizma lui Schwarz

Cizma lui Schwarz (din germană Schwarzscher Stiefel ) este o familie de aproximări ale unui cilindru circular care utilizează suprafețe poliedrice.

Aria limită a acestor aproximări poate fi făcută arbitrar de mare. Această construcție face posibil să se vadă inconsecvența definirii suprafeței ca cea mai mică limită superioară a ariilor suprafețelor poliedrice înscrise în ea, în contrast cu faptul că lungimea unei curbe poate fi definită ca cea mai mică limită superioară a lungimi de suprafeţe poliedrice înscrise în ea.

Istorie

Construcția a fost propusă în 1890 de Hermann Schwartz ca contraexemplu la definirea eronată a suprafeței într-o carte a lui Joseph Serret [1] . Indiferent de Schwartz, același exemplu a fost găsit de Giuseppe Peano . Profesorul său Angelo Genocchi a discutat și el această problemă cu Schwartz. Genocchi l-a informat pe Charles Hermite , care a folosit definiția eronată a lui Serret în cursul său. Hermite și-a revizuit apoi cursul și a publicat nota lui Schwartz în a doua ediție a prelegerilor sale. [2]

Constructii

Înălțimea cilindrului este împărțită de planuri paralele cu bazele în părți egale. -gonurile regulate se potrivesc în secțiunile formate (cercuri) , iar -gonurile învecinate sunt rotite unul față de celălalt la un unghi, astfel încât vârfurile -gonului de deasupra se află deasupra punctelor de mijloc ale laturilor -gonului subiacent. Apoi vârfurile -gonurilor sunt conectate astfel încât să se formeze o suprafață de triunghiuri; fiecare dintre „straturile” sale este o antiprismă . Suprafața poliedrică rezultată se numește cizma Schwartz . $n$ $k$ $k$ $\pi /k$ $k$ $k$ $k$ $2nk$

Dacă , atunci dimensiunile acestor triunghiuri devin arbitrar mici, adică cizma Schwartz tinde spre cilindru. $n,k\la \infty$

Proprietăți

Un calcul simplu arată asta
- când aria, adică suma ariilor tuturor fețelor triunghiulare ale cizmei Schwartz, tinde spre infinit. $k,n/k^{2}\to \infty$
- în zona cizmei lui Schwarz tinde spre zona unui cilindru circular. $n,k^{2}/n\la \infty$
În ceea ce privește metrica sa intrinsecă, cizma lui Schwarz este izometrică față de un cilindru circular.

Note

↑ JA Serret, Cours de calcul differentiel et integral (pag. 296 din prima ediție și pagina 298 din a doua)
↑ Schwarz, HA, „Sur une définition erronée de l'aire d'une surface courbe”, Gesammelte Mathematische Abhandlungen, 1 (1890), 309-311

Literatură

Dubrovsky, V.N., În căutarea determinării suprafeței , Kvant . - 1978. - Nr 5. - S. 31-34.
Fikhtengol'ts, G. M. Curs de calcul diferențial și integral. - M .: Mir , 1969. - T. 3.(§ 623).