Proprietatea lui Luzin

Proprietatea Luzin sau proprietatea N este una dintre proprietățile de regularitate slabă pentru funcțiile utilizate în analiza reală .

Numit după Nikolai Luzin .

Formulare

O funcție definită pe un interval real are proprietatea Luzin dacă, pentru un subset arbitrar de măsură Lebesgue zero, imaginea ei are și măsură Lebesgue zero. Cu alte cuvinte, pentru orice subset , $f\colon \mathbb {I} \to \mathbb {R} ,$ $\mathbb {I} \subset \mathbb {R} ,$ $N\subset \mathbb {I}$

\lambda (N)=0\quad \Rightarrow \quad \lambda (f(N))=0,

unde denotă măsura Lebesgue. $\lambda$

Exemple

Fiecare funcție absolut continuă are proprietatea Luzin.

Scara Cantor nu are proprietatea Luzin: măsura Lebesgue a unei mulțimi Cantor este egală cu zero, dar imaginea sa este întregul interval [0,1].

Proprietăți

Dacă o funcție f de pe segmentul [a,b] este continuă , are variație mărginită și are proprietatea Luzin, atunci este absolut continuă .

Link- uri externe

Springer Online