Teoria funcțiilor unei variabile reale

Teoria funcțiilor unei variabile reale ( TFVP , sau teoria funcțiilor unei variabile reale , TFDP ) este o ramură a analizei matematice care studiază reprezentarea și aproximarea funcțiilor , proprietățile locale și globale ale acestora. În același timp, spre deosebire de calculul diferențial și integral clasic, TFVP se bazează pe teoria mulțimilor și pe teoria măsurării , își folosește pe scară largă conceptele și metodele, ceea ce a făcut posibilă generalizarea semnificativă a rezultatelor clasice, o justificare riguroasă și obținerea de noi rezultate [1] .

Analiza clasică a secolelor XVII-XIX s-a limitat în principal la studiul funcțiilor netede sau netede pe bucăți . În a doua jumătate a secolului al XIX-lea a devenit clar că clasele mai generale de funcții erau și ele de interes practic; de asemenea, s-a dovedit că concepte precum continuitatea , lungimea curbei sau aria suprafeței care păreau intuitiv evidente necesită o definiție mai riguroasă [2] . Problema a fost rezolvată odată cu apariția măsurii Lebesgue și a abordării teoretice a mulțimilor a conceptului de funcție ca relație binară [1] . Noua bază de analiză a făcut posibilă păstrarea tuturor cunoștințelor acumulate anterior (deși unele dintre formulări trebuiau clarificate) și demonstrarea unui număr de noi teoreme profunde, cum ar fi lema Heine-Borel , teorema Ascoli-Arzela , teorema Weierstrass-Stone , lema Fatou , teorema Lebesgue asupra convergenței dominate și multe altele.

TPFT este strâns legat de ramuri ale matematicii precum geometria , algebra liniară , analiza funcțională , topologia etc. [3]

Componența TFVP

Structura TFVP include diferite subsecțiuni, dintre care trei pot fi distinse ca fiind principale [4] [5] :

1. Teoria descriptivă a funcțiilor. Studiază proprietățile generale ale claselor de funcții obținute ca urmare a trecerii la limită . În această subsecțiune, în special, au fost descoperite clase de funcții Baer care sunt strâns legate de clasificarea mulțimilor Borel .
2. Teoria metrică a funcțiilor. Ea studiază proprietățile funcțiilor pe baza conceptului de măsură Lebesgue a unei mulțimi (introdus de Henri Lebesgue în 1902) și a teoriei integralei Lebesgue . Pe lângă funcții, aici sunt studiate proprietățile derivatelor , integralelor, seriilor funcționale , se construiește o teorie generală a însumării seriilor și secvențelor . Locul funcțiilor netede a fost luat de clase mult mai largi de funcții măsurabile , însumabile și generalizate .
3. Teoria aproximării funcțiilor (de exemplu, prin polinoame ) [6] .

Vezi și

• Teoria funcțiilor unei variabile complexe
• analiza functionala

Note

1. ↑ 1 2 Enciclopedia matematică, 1985 , p. 688-690.
2. ↑ Matematica, conținutul, metodele și sensul ei, 1956 , p. patru.
3. ↑ Natanson, 1974 , p. 7.
4. ↑ Enciclopedia Matematică, 1985 , p. 689.
5. ↑ BRE .
6. ↑ Aproximarea funcțiilor  // Marea Enciclopedie Rusă  : [în 35 de volume]  / cap. ed. Yu. S. Osipov . - M .  : Marea Enciclopedie Rusă, 2004-2017.

Literatură

• Natanson, I. P. Teoria funcțiilor unei variabile reale. - Ed. a 3-a. - M. : Nauka, 1974. - 484 p.
• Teoria funcțiilor unei variabile reale // Matematica, conținutul, metodele și sensul acesteia (în trei volume), capitolul XV. - M. : AN SSSR, 1956. - T. 3. - 336 p.
• Frolov N. A. Teoria funcţiilor unei variabile reale. - Ed. a II-a. - M . : Uchpedgiz, 1961. - 172 p.
• Funcțiile unei teorii variabile reale // Enciclopedie matematică (în 5 volume). - M . : Enciclopedia Sovietică , 1985. - T. 5.

Link -uri

• Pogrebnoy VD Teoria funcțiilor unei variabile reale. Note de curs (PDF) .  (nedefinit) (link indisponibil)
• Teoria funcţiilor  // Marea Enciclopedie Rusă  : [în 35 de volume]  / cap. ed. Yu. S. Osipov . - M .  : Marea Enciclopedie Rusă, 2004-2017.
• Teoria funcției . Enciclopedie în jurul lumii . Preluat: 21 decembrie 2020. (nedefinit)

Dicționare și enciclopedii	in jurul lumii Britannica (online)