Simbol al lui Legendre

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 28 octombrie 2021; verificarea necesită 1 editare .

Simbolul Legendre este o funcție folosită în teoria numerelor . Introdus de matematicianul francez A. M. Legendre . Simbolul Legendre este un caz special al simbolului Jacobi , care, la rândul său, este un caz special al simbolului Kronecker-Jacobi , numit uneori simbolul Legendre-Jacobi-Kronecker.

Definiție

Fie a un număr întreg și p un prim, altul decât 2. Simbolul Legendre este definit după cum urmează: $\textstyle \left({\frac {a}{p}}\right)$

$\textstyle \left({\frac {a}{p}}\right)=0$ , dacă a este divizibil cu p ;
$\textstyle \left({\frac {a}{p}}\right)=1$ , dacă a este un rest patratic modulo p (adică există un întreg x astfel încât ), dar a nu este divizibil cu p ; $x^{2}\equiv a{\pmod p}$
$\textstyle \left({\frac {a}{p}}\right)=-1$ , dacă a este un mod patratic nereziduu p .

Proprietăți

Multiplu : . Proprietățile evidente ale multiplicativității sunt, de asemenea, următoarele: $\left({\frac {ab}{p}}\right)=\left({\frac {a}{p}}\right)\left({\frac {b}{p}}\ dreapta)$
- dacă nu este divizibil cu , atunci $A$ $p$ $\left({\frac {a^{2}}{p}}\right)=1;$
- dacă este o factorizare prime canonică , atunci $a=p_{1}^{{\alpha _{1}}}\cdot p_{2}^{{\alpha _{2}}}\cdot \ldots \cdot p_{k}^{{\alpha _ {k}}}$ $A$ $\left({\frac {a}{p}}\right)=\left({\frac {p_{1}}{p}}\right)^{\alpha _{1}{\pmod {2}}}\cdot \left({\frac {p_{2}}{p}}\right)^{\alpha _{2}{\pmod {2}}}\cdot \ldots \cdot \left ({\frac {p_{k}}{p}}\right)^{\alpha _{k}{\pmod {2}}}.$
Dacă , atunci $a\equiv b{\pmod p}$ $\left({\frac {a}{p}}\right)=\left({\frac {b}{p}}\right).$
$\left({\frac {1}{p}}\right)=1.$
Lema lui Gauss asupra reziduurilor cuadratice .
Criteriul lui Euler :

\left({\frac {a}{p}}\right)\equiv a^{(p-1)/2}{\pmod {p}}.

Dacă , atunci: $p\neq 2$

\left({\frac {-1}{p}}\right)=(-1)^{(p-1)/2}

(un caz special al criteriului Euler);

\left({\frac {2}{p}}\right)=(-1)^{(p^{2}-1)/8}.

Dovada

Dacă și este impar, atunci , și par și invers. De aceea $x<{\frac {p}{2)}$ $X$ $px>{\frac {p}{2)}$ $px$

$1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot \ldots \cdot {\frac {p-1}{2}}=$

$=(-(-1))\cdot 2\cdot (-(-3))\cdot 4\cdot \ldots \cdot \left({\pm \left({\pm {\frac {p- 1}{2}}}\right)}\right)\equiv$

$\equiv (-{\color {albastru}{(p-1))))\cdot {\color {roșu}{2}}\cdot (-{\color {albastru}{(p-3) }})\cdot {\color {roșu}{4}}\cdot \ldots \cdot \left({\pm \left({\pm {\frac {p-1}{2}}}\right)} \right){\pmod {p}}\ ,$

unde în ultimul produs numerele de sub semne sunt pare și apar toate numerele pare. Astfel, notând , avem $s={\frac {p-1}{2)}$

$s!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot \ldots \cdot {\frac {p-1}{2}}\equiv$

$\equiv (-1)^{\lfloor {(s+1)/2}\rfloor }\cdot {\color {roșu}{2}}\cdot {\color {roșu}{4}}\ cdot \ldots \cdot {\color {albastru}{(p-3)}}\cdot {\color {albastru}{(p-1)))=(-1)^{\lfloor {(s+1) /2}\rfloor }\cdot 2^{s}(s!){\pmod {p}}$

Prin urmare , care, după criteriul lui Euler, dovedește afirmația. $2^{s}\equiv (-1)^{\lfloor {(s+1)/2}\rfloor }=(-1)^{\frac {s(s+1)}{2} }=(-1)^{\frac {p^{2}-1}{8}}$

Legea pătratică a reciprocității : Fie p și q nume prime impare inegale, atunci $\left({\frac {q}{p}}\right)=(-1)^{{\frac {p-1}{2}}\cdot {\frac {q-1}{2 ))}\cdot \left({\frac {p}{q}}\right).$
Dacă , atunci $p\equiv q{\pmod {4\cdot a)}$

\left({\frac {a}{p}}\right)=\left({\frac {a}{q}}\right)

Pentru , exact jumătate dintre numere au simbolul Legendre egal cu 1, iar cealaltă jumătate au simbolul egal cu −1. $p\neq 2$ $1\leqslant a\leqslant p-1$

Literatură

Vinogradov I.M. Fundamentele teoriei numerelor . - Moscova: GITTL, 1952. - P. 180. - ISBN 5-93972-252-0 .

Caractere în teoria numerelor și în teoria grupurilor
Caractere cuadratice	Simbol al lui Legendre Simbolul Jacobi Simbolul Kronecker - Jacobi
Caracterele reziduurilor de putere	Natura reziduului cubic Natura reziduului biquadratic Simbol de reziduuri de putere