Dinamica simbolică

Dinamica simbolică este un nume unificator pentru o clasă de sisteme dinamice , pentru care punctele spațiului fazelor sunt secvențe într-un alfabet finit de „simboluri”, iar maparea constă în deplasarea secvenței cu un simbol spre stânga.

Cele mai simple exemple sunt schimbarea Bernoulli și schimbarea Markov . Dinamica simbolică apare și atunci când se ia în considerare afișarea destinului .

Exemple de bază

schimbarea Bernoulli

Fie spațiul secvențelor din alfabet , adică $\Sigma _{s}^{{+}}$ $\{1,\puncte ,s\}$

\Sigma _{s}^{{+}}=\{(\omega _{j})_{{j=1}}^{{\infty }}\mid \forall j\quad w_{j}\ în \{1,\dots ,s\}\}.

O schimbare Bernoulli este un sistem dinamic , unde este maparea deplasării la stânga, $(\Sigma _{s}^{{+}},\sigma )$ $\sigma$

(\sigma (\omega ))_{j}=\omega _{{j+1}}.\qquad (*)

Luăm în considerare și maparea deplasării la stânga pe spațiul secvențelor infinite cu două fețe

\Sigma _{s}=\{(\omega _{j})_{{j=-\infty }}^{{\infty }}\mid \forall j\quad w_{j}\in \{1 ,\puncte ,s\}\};

sistemul dinamic rezultat se mai numește și schimbarea Bernoulli. Dacă este necesar, pentru a clarifica care dintre sisteme se înțelege, primul sistem se numește deplasare Bernoulli unilaterală , iar al doilea cu două fețe . $(\Sigma _{s},\sigma )$

Markov shift

Destiny Mapping

Dacă spațiul de fază al unui sistem dinamic este împărțit într-o uniune de mulțimi disjunse,

X=\bigsqcup _{{i=1}}^{N}B_{i},

orice punct poate fi asociat cu soarta sa - succesiunea numerelor de seturi pe care le vizitează orbita sa: $x\în X$

x\mapsto (i_{k}),\quad f^{k}(x)\în B_{{i_{k}}}.\qquad (*)

Mai mult, pentru sistemele dinamice ireversibile, secvența este unilaterală, adică , iar pentru sisteme reversibile se consideră de obicei secvențe infinite cu două fețe, . $(i_{k})$ $k=0,1,2,\dots$ $k\in \mathbb{Z }$

Maparea sau , dată de formula (*), se numește maparea destinului (corespunzător împărțirii date a spațiului fazelor). O astfel de mapare satisface automat relația $h:X\la \Sigma _{N}$ $h:X\la \Sigma _{N}^{+}$

h\circ f=\sigma \circ h.

Deși harta destinului nu este a priori nici surjectivă, nici injectivă, nici continuă, ea este adesea folosită în construirea conjugărilor sau semiconjugărilor diferitelor mapări. În cazul în care cartografierea destinului este injectivă, se vorbește de o codificare simbolică a dinamicii - întrucât aplicarea cartografierii o astfel de „înlocuire a coordonatelor” se transformă în dinamică în spațiul simbolic sau din partea sa. $\Sigma _{N}$

Proprietăți

Exemple

Măsuri invariante

Literatură

P. Billingsley, Teoria și informația ergodică.
V. I. Arnold, D. V. Anosov, Yu. S. Ilyashenko, et al., Dynamic Systems-1, VINITI.
Katok A. B. , Hasselblat B. Introducere în teoria modernă a sistemelor dinamice cu o trecere în revistă a realizărilor recente / Per. din engleza. ed. A. S. Gorodetsky. — M .: MTSNMO , 2005. — 464 p. — ISBN 5-94057-063-1 .