Geometrie simplică

Geometria simplectică este un domeniu al geometriei diferențiale și al topologiei diferențiale care studiază varietăți simplectice : varietăți netede cu o formă 2 nedegenerată închisă aleasă . Geometria simplectică originală a apărut din formalismul hamiltonian din mecanica clasică , când spațiul fazelor pentru un sistem clasic sa dovedit a fi o varietate simplectică.

Geometria simplectică are atât asemănări, cât și diferențe cu geometria riemanniană , care studiază varietăți cu o formă definită pozitivă pătratică aleasă - tensorul metric - permițând determinarea distanțelor pe varietate. Spre deosebire de cazul geometriei riemanniene, nu există un invariant local pe varietăți simplectice, care este curbura în cazul riemannian . Acest lucru decurge din teorema lui Darboux , care afirmă că o vecinătate suficient de mică a oricărui punct al unei varietăți simplectice 2n - dimensionale este izomorfă la un anumit domeniu cu forma simplectică standard: $\mathbb {R} ^{2n)$

\omega =\sum _{j}dp_{j}\wedge dq_{j)

O altă diferență față de geometria riemanniană este că nu fiecărei varietăți i se poate da o structură simplectică: există o serie de restricții topologice. Astfel, varietatea trebuie să fie uniformă și orientabilă . De asemenea, pentru cazul unei varietăți închise, a doua sa grupă de omologie trebuie să fie netrivială: o formă simplectică pe o varietate compactă fără graniță nu poate fi exactă . $M$ $H^{2}(M,\mathbb {R} )$

Literatură

Fomenko A. T. Geometrie simplectică. Metode și aplicații. - M. : MGU, 1988. - 413 p. — ISBN 5-211-00083-8 .