Grup perfect

Un alt sens al acestui termen: un grup care coincide cu subgrupul său derivat

Un grup perfect [1] este un grup astfel încât maparea este un izomorfism de . Această mapare trimite un element la un automorfism de conjugare . Injectivitatea acestei mapări este echivalentă cu trivialitatea centrului , iar surjectivitatea este echivalentă cu faptul că fiecare automorfism este intern. $G$ $G\to Aut(G)$ $g\în G$ $s_{g}:h\to ghg^{-1)$

Exemple sunt grupurile simetrice la ( teorema lui Hölder ); în plus, grupul are un centru netrivial, iar grupul are un automorfism exterior . $S_{n}$ $n\neq 2.6$ $S_{2}=\mathbb {Z} _{2)$ $S_6$

Automorfismele unui grup simplu formează un grup aproape simplu , iar automorfismele unui grup simplu non- abelian formează un grup perfect.

Nu orice grup izomorf cu grupul său de automorfism este perfect - este necesar ca izomorfismul să fie realizat printr-o hartă de conjugare. Un exemplu de grup pentru care , dar care nu este perfect, este grupul diedric [2] . $G=Aut(G)$ $D_{4}$

Note

↑ Kargapolov M. I., Merzlyakov Yu. I. Fundamentele teoriei grupurilor. - Ed. a II-a. - Moscova: Nauka, 1977. - S. 62. - 240 p.
↑ Robinson, secțiunea 13.5

Literatură

Robinson, Derek John Scott (1996), Un curs în teoria grupurilor , Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94461-6
Rotman, Joseph J. (1994), O introducere în teoria grupurilor , Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94285-8 (capitolul 7, în special teoremele 7.15 și 7.17).

Link -uri

Joel David Hamkins : Cât de înalt este turnul de automorfism al unui grup?