Un grup perfect [1] este un grup astfel încât maparea este un izomorfism de . Această mapare trimite un element la un automorfism de conjugare . Injectivitatea acestei mapări este echivalentă cu trivialitatea centrului , iar surjectivitatea este echivalentă cu faptul că fiecare automorfism este intern.
Exemple sunt grupurile simetrice la ( teorema lui Hölder ); în plus, grupul are un centru netrivial, iar grupul are un automorfism exterior .
Automorfismele unui grup simplu formează un grup aproape simplu , iar automorfismele unui grup simplu non- abelian formează un grup perfect.
Nu orice grup izomorf cu grupul său de automorfism este perfect - este necesar ca izomorfismul să fie realizat printr-o hartă de conjugare. Un exemplu de grup pentru care , dar care nu este perfect, este grupul diedric [2] .