Grup diedric

Grupul diedric ( grupul diedric ) este grupul de simetrie al unui poligon regulat , incluzând atât rotațiile , cât și simetriile axiale [1] . Grupurile diedrice sunt cele mai simple exemple de grupuri finite și joacă un rol important în teoria grupurilor , geometrie și chimie . Este binecunoscut și verificat destul de banal că un grup format din două involuții cu un număr finit de elemente în domeniul definiției este un grup diedric.

Notație

Există două moduri principale de a scrie grupul diedric asociat cu un poligon cu laturi. În geometrie , un grup este scris ca , în timp ce în algebră generală același grup este notat ca , unde indicele este numărul de elemente din grup. Există, de asemenea , notația Coxeter , în care simetria axială a ordinului este notată ca ) și rotația ordinului ca . O altă intrare este notația orbifold , în care simetria axială este notată ca , iar rotațiile ca . $n$ $\mathrm {D} _{n}$ $\mathrm {D} _{2n}$ $2n$ $[n]$ $n$ ${\displaystyle [n]^{+))$ $*nn$ $n$

În acest articol (sau, uneori, ) se referă la simetriile unui -gon obișnuit. $\mathrm {D} _{n}$ $\mathrm {Dih} _{n}$ $n$

Definiție

Elemente

Un -gon regulat are diverse simetrii: rotații și reflexii axiale , formând un grup diedric . Dacă este impar, fiecare axă de simetrie trece prin mijlocul uneia dintre laturi și prin vârful opus. Dacă este egal, există axe de simetrie care leagă punctele medii ale laturilor opuse și axe care leagă vârfurile opuse. În orice caz, în grupul de simetrii există axe de simetrie și elemente. Reflecția în jurul unei axe, și apoi asupra celeilalte, are ca rezultat o rotație de două ori mai mare decât unghiul dintre axe. Imaginile de mai jos arată efectul elementului asupra semnului rutier Stop : $n$ $2n$ $n$ $n$ $\mathrm {D} _{n}$ $n$ $n$ $n/2$ $n/2$ $n$ $2n$ $\mathrm {D} _{8}$

Prima linie arată opt rotații, iar a doua linie arată opt reflexii.

Structura grupului

Ca și în cazul oricărui alt obiect geometric, compoziția celor două simetrii ale unui poligon regulat va fi din nou o simetrie. Astfel, simetriile unui poligon regulat formează un grup finit .

Tabelul lui Cayley arată rezultatele compozițiilor din grupul de simetrie al unui triunghi echilateral . denotă transformarea identității și indică rotația în sens invers acelor de ceasornic cu și , respectiv, grade , , , și denotă reflexii despre axele prezentate în figura din dreapta. $\mathrm {D} _{3)$ $\mathrm {R} _{0}$ $\mathrm {R} _{1}$ $\mathrm {R} _{2}$ $120$ $240$ $\mathrm {S} _{0}$ $\mathrm {S} _{1}$ $\mathrm {S} _{2}$

	$\mathrm {R} _{0}$	$\mathrm {R} _{1}$	$\mathrm {R} _{2}$	$\mathrm {S} _{0}$	$\mathrm {S} _{1}$	$\mathrm {S} _{2}$
$\mathrm {R} _{0}$	$\mathrm {R} _{0}$	$\mathrm {R} _{1}$	$\mathrm {R} _{2}$	$\mathrm {S} _{0}$	$\mathrm {S} _{1}$	$\mathrm {S} _{2}$
$\mathrm {R} _{1}$	$\mathrm {R} _{1}$	$\mathrm {R} _{2}$	$\mathrm {R} _{0}$	$\mathrm {S} _{1}$	$\mathrm {S} _{2}$	$\mathrm {S} _{0}$
$\mathrm {R} _{2}$	$\mathrm {R} _{2}$	$\mathrm {R} _{0}$	$\mathrm {R} _{1}$	$\mathrm {S} _{2}$	$\mathrm {S} _{0}$	$\mathrm {S} _{1}$
$\mathrm {S} _{0}$	$\mathrm {S} _{0}$	$\mathrm {S} _{2}$	$\mathrm {S} _{1}$	$\mathrm {R} _{0}$	$\mathrm {R} _{2}$	$\mathrm {R} _{1}$
$\mathrm {S} _{1}$	$\mathrm {S} _{1}$	$\mathrm {S} _{0}$	$\mathrm {S} _{2}$	$\mathrm {R} _{1}$	$\mathrm {R} _{0}$	$\mathrm {R} _{2}$
$\mathrm {S} _{2}$	$\mathrm {S} _{2}$	$\mathrm {S} _{1}$	$\mathrm {S} _{0}$	$\mathrm {R} _{2}$	$\mathrm {R} _{1}$	$\mathrm {R} _{0}$

De exemplu, deoarece aplicarea reflexiilor succesive și dă o rotație cu . Rețineți că compoziția nu este o operație comutativă . $\mathrm {S} _{2}\mathrm {S} _{1}=\mathrm {R} _{1)$ $\mathrm {S} _{1}$ $\mathrm {S} _{2}$ $120^{\circ }$

În cazul general, grupul conține elemente și , ca operație, are o compoziție, care este dată de formulele: $\mathrm {D} _{n}$ $\mathrm {R} _{0},\dots \mathrm {R} _{n-1)$ $\mathrm {S} _{0},\dots \mathrm {S} _{n-1)$

\mathrm {R} _{i}\mathrm {R} _{j}=\mathrm {R} _{i+j)

\mathrm {S} _{i}\mathrm {R} _{j}=\mathrm {S} _{ij)

\mathrm {R} _{i}\mathrm {S} _{j}=\mathrm {S} _{i+j)

\mathrm {S} _{i}\mathrm {S} _{j}=\mathrm {R} _{ij)

În toate cazurile, adăugarea și scăderea indicilor trebuie făcută folosind resturi modulo . $n$

Reprezentare matrice

Dacă plasăm centrul unui poligon regulat la origine, elementele grupului diedric devin mapări liniare ale planului . Acest lucru permite ca elementele să fie reprezentate ca un grup de matrice , cu multiplicarea matricelor ca operație de compunere. O astfel de reprezentare este un exemplu de reprezentare -dimensională a unui grup . $\mathrm {D} _{n}$ $2$

Să luăm ca exemplu elementele grupului . Ele pot fi reprezentate ca următoarele matrici: $\mathrm {D} _{4)$ $opt$

{\begin{matrix}R_{0}={\bigl (}{\begin{smallmatrix}1&0\\[0.2em]0&1\end{smallmatrix}}{\bigr )},&R_{1}={\bigl (}{\begin{smallmatrix}0&-1\\[0.2em]1&0\end{smallmatrix}}{\bigr )},&R_{2}={\bigl (}{\begin{smallmatrix}-1&0\\ [0.2em]0&-1\end{smallmatrix}}{\bigr )},&R_{3}={\bigl (}{\begin{smallmatrix}0&1\\[0.2em]-1&0\end{smallmatrix}} {\bigr )},\\[1em]S_{0}={\bigl (}{\begin{smallmatrix}1&0\\[0.2em]0&-1\end{smallmatrix)){\bigr )},&S_ {1}={\bigl (}{\begin{smallmatrix}0&1\\[0.2em]1&0\end{smallmatrix}}{\bigr )},&S_{2}={\bigl (}{\begin{smallmatrix }-1&0\\[0.2em]0&1\end{smallmatrix}}{\bigr )},&S_{3}={\bigl (}{\begin{smallmatrix}0&-1\\[0.2em]-1&0\ end{matrice mică}}{\bigr )}.\end{matrice}}

În general, matricele pentru elemente au următoarea formă: $\mathrm {D} _{n}$

{\begin{aligned}R_{k}&={\begin{pmatrix}\cos {\frac {2\pi k}{n)}&-\sin {\frac {2\pi k}{ n}}\\\sin {\frac {2\pi k}{n}}&\cos {\frac {2\pi k}{n}}\end{pmatrix}}\ \ {\text{i} }\\S_{k}&={\begin{pmatrix}\cos {\frac {2\pi k}{n}}&\sin {\frac {2\pi k}{n}}\\\sin {\frac {2\pi k}{n}}&-\cos {\frac {2\pi k}{n}}\end{pmatrix}}.\end{aliniat}}

Aici , este matricea de rotație în sens invers acelor de ceasornic după unghi și este reflexia în jurul axei care formează un unghi cu axa absciselor . $\mathrm {R} _{k)$ ${\frac {2\pi k}{n)}$ $\mathrm {S} _{k)$ ${\frac {\pi k}{n}}$

Grupuri diedrice mici

Căci primim . Această notație este rar folosită, cu excepția pentru a desemna alte grupuri dintr-o secvență, deoarece grupul este echivalent cu . $n=1$ $\mathrm {Dih} _{1}$ $Z_{2}$

Căci obținem — grupul de patru ori Klein . $n=2$ $\mathrm {Dih} _{2}$

Ambele cazuri sunt excepții în serie:

Ei sunt abelieni , în timp ce pentru toți ceilalți grupul nu este abelian. $n$ $\mathrm {Dih} _{n}$
Nu sunt subgrupuri ale grupului simetric deoarece pentru acestea . $\mathrm {S} _{n}$ $2n>n!$ $n$

Graficul ciclului al grupurilor diedrice constă dintr-un ciclu de lungime și cicluri de lungime . Nodurile întunecate ale graficului ciclului de mai jos arată transformarea identității, vârfurile albe arată elementele rămase ale grupului. Ciclul este format din grade succesive ale elementelor rămase. $n$ $n$ $2$


Dih 1	Dih 2	Dih 3	Dih 4	Dih 5	Dih 6	Dih 7

Grupul diedric ca grup de simetrie în 2D și grup de rotație în 3D

Un exemplu de grup abstract Dih n și un mod comun de reprezentare grafică este grupul D n de izometrii plane care nu mută originea. Aceste grupuri formează una din două serii de grupuri de puncte discrete în plan . D n constă din n rotații cu un unghi divizibil cu 360°/ n în jurul originii și reflecții despre n axe care trec prin centrul coordonatelor și un unghi față de celelalte axe divizibil cu 180°/ n . Aceste puncte reprezintă grupul de simetrie al unui poligon regulat cu n laturi (pentru n ≥ 3).

Grupul diedric D n este este generat printr-o rotație r de ordin n și o reflexie s de ordin 2 astfel încât

srs=r^{-1)

În ceea ce privește geometria: o imagine în oglindă a unei rotații arată ca o rotație inversă.

În ceea ce privește numerele complexe : înmulțirea cu și conjugarea. $e^{{2\pi i \over n}}$

Din punct de vedere al matricelor: dat

r_{1}={\begin{bmatrix}\cos {2\pi \over n}&-\sin {2\pi \over n}\\[8pt]\sin {2\pi \over n}&\ cos {2\pi \over n}\end{bmatrix}}\qquad s_{0}={\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}

si definind si pentru putem scrie regulile de formare a lui D n as $r_{j}=r_{1}^{j}$ $s_{j}=r_{j}\,s_{0}$ $j\in \{1,\ldots ,n-1\}$

r_{j}\,r_{k}=r_{{(j+k){\text{ mod }}n}}

r_{j}\,s_{k}=s_{{(j+k){\text{ mod }}n}}

s_{j}\,r_{k}=s_{{(jk){\text{ mod }}n}}

s_{j}\,s_{k}=r_{{(jk){\text{ mod }}n}}.

(Comparați matricea de rotație .)

Grupul diedric D 2 este generat printr-o rotație a lui r cu 180 de grade și o simetrie a lui s în jurul axei X. Elementele lui D 2 pot fi reprezentate ca { e , r , s , rs }, unde e este identitatea transformare și rs este simetria în jurul axei 'Y .

D2 este izomorf cu grupul cvadruplu Klein .

Pentru n>2, operațiile de rotație și reflexie despre o dreaptă nu sunt comutative și D n nu este abelian. De exemplu, în D4 , rotirea cu 90 de grade și apoi răsturnarea dă un rezultat foarte diferit de rotirea și apoi rotirea.

Astfel, împreună cu aplicațiile evidente la problemele de simetrie în plan, aceste grupuri servesc ca cele mai simple exemple de grupuri non-abeliene și sunt adesea folosite ca contraexemple pentru teoremele limitate la grupurile abeliene.

2 n elemente ale lui D n pot fi scrise ca e , r , r 2 , …, r n −1 , s , rs , r 2 s , …, r n −1 s . Primele n elemente enumerate sunt rotații, restul n sunt reflexii despre axe (toate au ordinul 2). Rezultatul a două rotații sau două reflexii va fi o rotație Rezultatul unei rotații și o reflexie va fi o reflexie.

Astfel, am stabilit că D n este un subgrup O(2) .

Cu toate acestea, notația D n este folosită pentru subgrupurile de SO(3) care sunt și grupuri de tip Dih n : grupul de simetrie a unui poligon încorporat în spațiul tridimensional (dacă n ≥ 3). Astfel de figuri pot fi înțelese ca solide degenerate (de unde și numele de diedru ( diedru).

Exemple de simetrie a diedrelor bidimensionale

2D D 6 - (simbol respins) Steaua roșie a lui David
2D D 24 - Ashoka Chakra - un simbol pe steagul Indiei .

Definiții echivalente

Următoarele definiții sunt echivalente: $\mathrm {Dih} _{n}$

Grupul de automorfism al unui graf constând numai dintr-un ciclu cu vârfuri (dacă ). $n$ $n\geqslant 3$
Grup cu vedere

D_{n}=\langle r,s\mid r^{n}=1,s^{2}=1,srs=r^{-1}\rangle

D_{n}=\langle x,y\mid x^{n}=y^{2}=(xy)^{2}=1\rangle .

Din a doua reprezentare rezultă că aparține clasei grupurilor Coxeter .

\mathrm {Dih} _{n}

Proprietăți

Proprietățile grupurilor diedrice cu depind de paritate . De exemplu, centrul unui grup este format doar din identitatea pentru impar și două elemente pentru par, și anume, identitatea și . Pentru numerele impare , grupul abstract este izomorf cu produsul direct și . $\mathrm {Dih} _{n}$ $n\geqslant 3$ $n$ $\mathrm {Dih} _{n}$ $n$ $r^{n/2}$ $n$ $\mathrm {Dih} _{2n}$ $\mathrm {Dih} _{n}$ $\mathrm {Z} _{2}$

Dacă se împarte , atunci are subgrupuri de formă și un subgrup . Astfel, numărul total de subgrupe ale grupului ( ) este egal cu , unde este numărul divizorilor naturali și este suma divizorilor naturali ai . $m$ $n$ $\mathrm {Dih} _{n}$ $n/m$ $\mathrm {Dih} _{m}$ $\mathrm {Z} _{m)$ $\mathrm {Dih} _{n}$ $n\geqslant 1$ $\mathrm {d} (n)+\mathrm {\sigma} (n)$ $\mathrm {d} (n)$ $n$ $\mathrm {\sigma} (n)$ $n$

Conjugarea claselor de reflecție

Toate reflexiile sunt conjugate perechi în cazul impar , dar se încadrează în două clase de conjugare pentru par . În ceea ce privește izomorfismul -gonurilor regulate: pentru cele impare , orice reflexie se obține de la oricare alta prin aplicarea unei rotații, în timp ce pentru cele pare, doar jumătate din reflexii pot fi obținute dintr-o anumită reflexie prin rotații. Din punct de vedere geometric, într-un gon impar fiecare axă de simetrie trece printr-unul dintre vârfuri și punctul de mijloc al laturii opuse, iar într-un gon par există două seturi de axe, fiecare mulțime corespunde clasei sale de conjugație - axele care trec prin vârfuri și axele care trec prin punctele medii ale laturilor. $n$ $n$ $n$ $n$ $n$

Din punct de vedere algebric, aceștia sunt reprezentanți ai elementelor conjugate din teorema Sylow : pentru impar , orice reflecție împreună cu elementul identic formează un subgrup de ordin , care este un 2-subgrup Sylow ( este puterea maximă a două împărțiri ), în timp ce pentru par , aceste subgrupuri de ordinul --lea nu sunt Sylow, deoarece (cea mai mare putere a doi) împarte ordinea grupului. $n$ $2$ $2=2^{1}$ $2n=2(2k+1)$ $n$ $2$ $patru$

Pentru chiar , există în schimb un automorfism exterior care schimbă cele două tipuri de reflexii. $n$

Grupuri de automorfism

Automorfismul grupului Dih n este izomorf cu grupul afin Aff(Z/nZ) și are ordinul , unde funcția Euler este egală cu numărul de numere naturale mai mici decât n și relativ prime pentru aceasta. $=\{ax+b\mid(a,n)=1\}$ $n\phi(n),$ $\phi$

Acest lucru poate fi înțeles în termenii unui generator de reflexie și rotații elementare (rotații pe , pentru k coprim cu n ). Care automorfism este intern și care este extern depinde de paritatea lui n . $k(2\pi /n)$

Pentru n impar , grupul diedric nu are centru, deci orice element definește un automorfism interior non-trivial. Pentru n par , rotația cu 180° (reflecție asupra centrului coordonatelor) este un element netrivial al centrului.
Astfel, pentru n impar , grupul automorfismului interior are ordinul 2 n, iar pentru n par are ordinul n.
Pentru n impar , toate reflexiile sunt conjugate, pentru că par, ele se încadrează în două clase (cele care trec prin două vârfuri și cele care trec prin punctele mijlocii ale laturilor), iar aceste două clase sunt asociate cu un automorfism exterior, care poate fi reprezentată ca o rotație prin (jumătate din unghiul de rotație minimă). $\pi /n$
Rotațiile dau un subgrup normal. Conjugarea reflexiei inversează semnul (direcția) rotației, dar în rest rămâne neschimbată. Un automorfism care înmulțește unghiurile cu k (coprim cu n ) este exterior dacă nu $k=\pm1.$

Exemple de automorfisme de grup

Dih 9 are 18 automorfisme interne . Ca grup de izometrie 2D, D9 are reflexii la intervale de 20°. 18 automorfisme interne asigură rotații ale reflexiilor cu un multiplu de 20° și reflexii. Ca grupuri de izometrie, toate sunt automorfisme. Există, în plus, 36 de automorfisme exterioare , de exemplu, înmulțind unghiul de rotație cu 2.

Generalizări

Există mai multe generalizări importante ale grupurilor diedrice:

Un grup diedric infinit este un grup infinit cu o structură algebrică similară cu cea a grupurilor diedrice finite. Poate fi considerat ca un grup de simetrie al numerelor întregi .
Grupul ortogonal O (2), adică grupul de simetrie a cercului , are proprietăți similare cu cele ale grupurilor diedrice finite
Familia grupurilor diedrice generalizate include extensiile de mai sus, precum și multe altele.
Grupurile cvasiedrice sunt o familie de grupuri finite cu proprietăți similare cu cele ale grupurilor diedrice finite.

Vezi și

Note

↑ Dummit, David S.; Foote, Richard M. Abstract Algebra (nedefinită) . — al 3-lea. - John Wiley & Sons , 2004. - ISBN 0-471-43334-9 .

Link -uri

Grupul Diedral n al Ordinului 2n de Shawn Dudzik, Proiectul Demonstrațiilor Wolfram .
Grup diedric la Groupprops
Miller W., Grupurile de simetrie și aplicațiile lor. Presa Academică, 1972.
Patterns of Symmetry = Modele de simetrie / Ed. M. Seneschal, J. Fleck. — M .: Mir, 1980. — 271 p.
Aminov L. K. Teoria simetriei (note de curs și probleme). - M .: Mn-t de cercetare informatică, 2002. - 192 p.
Weil G. Simetrie = Simetrie. — M .: Nauka, 1968. — 152 p.
Wigner E. Etudes on Symmetry = Symmetries and Reflections: Scientific Essays. — M .: Mir, 1971. — 320 p.
Golod P. I., Klimyk A. U. Fundamentele matematice ale teoriei simetriilor = Mathematical foundations of the theory of symmetry. - Izhevsk: RHD, 2001. - 528 p.
Poklonsky N. A. Grupuri de simetrie punctuală: Proc. Alocație - Minsk: BGU, 2003. - ISBN 985-445-965-9
Smirnov E. Yu. Grupuri de reflecție și poliedre regulate. — M.: MTsNMO, 2009. — 48 p. — ISBN 978-5-94057-525-2
Flurry R. Grupuri de simetrie: Teorie și aplicații chimice. — M .: Mir, 1983. — 400 p.