Lista integralelor funcțiilor raționale

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 7 iunie 2019; verificarea necesită 1 editare .

Mai jos este o listă de integrale ( antiderivate ) ale funcţiilor raţionale .

\int (ax+b)^{n}dx={\begin{cases}{\frac {(ax+b)^{n+1}}{a(n+1))),&n\ neq -1\\{\frac {1}{a}}\ln \left|ax+b\right|,&n=-1\end{cases}}

\int x(ax+b)^{n}dx={\begin{cases}{\frac {a(n+1)xb}{a^{2}(n+1)(n+2 )}}(ax+b)^{n+1},&n\nu \in \{-1,-2\}\\{\frac {x}{a}}-{\frac {b}{a ^{2}}}\ln \left|ax+b\right|,&n=-1\\{\frac {b}{a^{2}(ax+b)))+{\frac {1} {a^{2}}}\ln \left|ax+b\right|,&n=-2\end{cases}}

\int {\frac {x}{(ax+b)^{n}}}dx={\frac {a(1-n)xb}{a^{2}(n-1)(n -2)(ax+b)^{n-1}}},\quad n\nu \in \{1,2\}

\int {\frac {dx}{x^{2^{n}}+1}}=\sum _{k=1}^{2^{n-1}}\left\({\ frac {1}{2^{n-1}}}\left[\sin \left({\frac {(2k-1)\pi }{2^{n}}}\right)\operatorname {arctg} \left[\left(x-\cos \left({\frac {(2k-1)\pi }{2^{n))}\right)\right)\operatorname {cosec} \left({\frac {(2k-1)\pi }{2^{n}}}\dreapta)\dreapta]\dreapta]-\dreapta.

\quad \left.-\,{\frac {1}{2^{n)}}\left[\cos \left({\frac {(2k-1)\pi }{2^{n ))}\right)\ln \left|x^{2}-2x\cos \left({\frac {(2k-1)\pi }{2^{n))}\right)+1\right |\dreapta]\dreapta\}+C

\int {\frac {x^{2}}{ax+b}}dx={\frac {1}{a^{3}}}\left({\frac {(ax+b)^ {2}}{2}}-2b(ax+b)+b^{2}\ln \left|ax+b\right|\right)

\int {\frac {x^{2}}{(ax+b)^{2}}}dx={\frac {1}{a^{3}}}\left(ax+b- 2b\ln \left|ax+b\right|-{\frac {b^{2}}{ax+b}}\right)

\int {\frac {x^{2}}{(ax+b)^{3}}}dx={\frac {1}{a^{3}}}\left(\ln \left |ax+b\right|+{\frac {2b}{ax+b}}-{\frac {b^{2}}{2(ax+b)^{2}}}\right)

\int {\frac {x^{2}}{(ax+b)^{n}}}dx={\frac {1}{a^{3}}}\left(-{\frac {1}{(n-3)(ax+b)^{n-3}}}+{\frac {2b}{(n-2)(ax+b)^{n-2}}}-{ \frac {b^{2}}{(n-1)(ax+b)^{n-1}}}\dreapta),

pentru

n\nu \in \{1,2,3\}

\int {\frac {dx}{x(ax+b)}}=-{\frac {1}{b}}\ln \left|{\frac {ax+b}{x}}\ dreapta|

\int {\frac {dx}{x^{2}(ax+b)}}=-{\frac {1}{bx}}+{\frac {a}{b^{2}} }\ln \left|{\frac {ax+b}{x}}\right|

\int {\frac {dx}{x^{2}(ax+b)^{2}}}=-a\left({\frac {1}{b^{2}(ax+b) )))+{\frac {1}{ab^{2}x}}-{\frac {2}{b^{3}}}\ln \left|{\frac {ax+b}{x} }\dreapta|\dreapta)

\int {\frac {dx}{a^{2}x^{2}+b^{2}}}={\frac {1}{ab}}\operatorname {arctg} {\frac { topor {b}}

\int {\frac {dx}{(x^{2}+a^{2})^{2)}}={\frac {x}{2a^{2}(x^{2} +a^{2))}}+{\frac {1}{2a^{3}}}\operatorname {arctg} {\frac {x}{a}}

\int {\frac {dx}{(x^{2}+a^{2})^{3}}}={\frac {x}{4a^{2}(x^{2} +a^{2})^{2))}+{\frac {3x}{8a^{4}(x^{2}+a^{2)))))+{\frac {3}{ 8a ^{5}}}\operatorname {arctg} {\frac {x}{a}}

\int {\frac {dx}{x^{2}-a^{2}}}=-{\frac {1}{a}}\,\operatorname {arth} {\frac {x} {a}}={\frac {1}{2a}}\ln {\frac {ax}{a+x}}),

pentru

|x|<|a|

\int {\frac {dx}{x^{2}-a^{2}}}=-{\frac {1}{a}}\,\operatorname {arcth} {\frac {x} {a}}={\frac {1}{2a}}\ln {\frac {xa}{x+a}}),

pentru

|x|>|a|

\int {\frac {dx}{ax^{2}+bx+c}}={\frac {2}{\sqrt {4ac-b^{2}}}}\operatorname {arctg} { \frac {2ax+b}{\sqrt {4ac-b^{2)))),

pentru

4ac-b^{2}>0

\int {\frac {dx}{ax^{2}+bx+c}}=-{\frac {2}{\sqrt {b^{2}-4ac}}}\,\operatorname { arth} {\frac {2ax+b}{\sqrt {b^{2}-4ac}}}={\frac {1}{\sqrt {b^{2}-4ac}}}\ln \left| {\frac {2ax+b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2ax+b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}}\right|,

pentru

4ac-b^{2}<0

\int {\frac {dx}{ax^{2}+bx+c}}=-{\frac {2}{2ax+b}}\qquad {\mbox{(pentru }}4ac-b ^{2}=0{\mbox{)))

\int {\frac {x}{ax^{2}+bx+c}}dx={\frac {1}{2a}}\ln \left|ax^{2}+bx+c\ dreapta|-{\frac {b}{2a}}\int {\frac {dx}{ax^{2}+bx+c}}

\int {\frac {mx+n}{ax^{2}+bx+c}}dx={\frac {m}{2a}}\ln \left|ax^{2}+bx+ c \right|+{\frac {2an-bm}{a{\sqrt {4ac-b^{2))))}\operatorname {arctg} {\frac {2ax+b}{\sqrt {4ac-b ^ {2}}}},

pentru

4ac-b^{2}>0

\int {\frac {mx+n}{ax^{2}+bx+c}}dx={\frac {m}{2a}}\ln \left|ax^{2}+bx+ c \right|-{\frac {2an-bm}{a{\sqrt {b^{2}-4ac))))\,\operatorname {arth} {\frac {2ax+b}{\sqrt {b ^ {2}-4ac}}},

pentru

4ac-b^{2}<0

\int {\frac {mx+n}{ax^{2}+bx+c}}dx={\frac {m}{2a}}\ln \left|ax^{2}+bx+ c \right|-{\frac {2an-bm}{a(2ax+b)))),

pentru

4ac-b^{2}=0

{\displaystyle \int {\frac {dx}{(ax^{2}+bx+c)^{n)}}={\frac {2ax+b}{(n-1)(4ac-b^{ 2})(ax^{2}+bx+c)^{n-1))}+{\frac {(2n-3)2a}{(n-1)(4ac-b^{2})} }\int {\frac {dx}{(ax^{2}+bx+c)^{n-1))))

{\displaystyle \int {\frac {x}{(ax^{2}+bx+c)^{n))}dx={\frac {bx+2c}{(n-1)(4ac-b^ {2})(ax^{2}+bx+c)^{n-1}}}-{\frac {b(2n-3)}{(n-1)(4ac-b^{2}) }}\int {\frac {dx}{(ax^{2}+bx+c)^{n-1))))

\int {\frac {dx}{x(ax^{2}+bx+c)}}={\frac {1}{2c}}\ln \left|{\frac {x^{2 }}{ax^{2}+bx+c}}\right|-{\frac {b}{2c}}\int {\frac {dx}{ax^{2}+bx+c}}

Bibliografie

Cărți

Gradshtein I. S., Ryzhik I. M. Tabele de integrale, sume, serii și produse. - a 4-a ed. - M .: Nauka, 1963. - ISBN 0-12-294757-6 // EqWorld
Dvait G. B. Tabele de integrale Sankt Petersburg: Editura și tipografia SA VNIIG im. B. V. Vedeneeva, 1995. - 176 p. — ISBN 5-85529-029-8 . // EqWorld
D. Zwillinger. CRC Standard Mathematical Tables and Forms , ed. 31, 2002. ISBN 1-58488-291-3 .
M. Abramowitz și I. A. Stegun, eds. Manual de funcții matematice cu formule, grafice și tabele matematice , 1964. ISBN 0-486-61272-4
Korn G. A., Korn T. M. Manual de matematică pentru oameni de știință și ingineri . - M .: " Nauka ", 1974.

Tabelele de integrale

Calculul integralelor

Liste de integrale pe tipuri de funcții
Elementar raţional iraţional trigonometric verso hiperbolic verso exponenţială funcții logaritmice