Lista integralelor funcțiilor elementare

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 6 septembrie 2021; verificarea necesită 1 editare .

Integrarea este una dintre cele două operații de bază în calcul . Spre deosebire de operația de diferențiere, integrala unei funcții elementare nu trebuie să fie o funcție elementară. De exemplu, din teorema lui Liouville rezultă că integrala lui nu este o funcție elementară. Tabelele cu antiderivate cunoscute sunt adesea foarte utile, deși acum își pierd relevanța odată cu apariția sistemelor de algebră computerizată. Această pagină conține o listă cu cele mai frecvent întâlnite primitive. $e^{x^2}$

$C$ folosită ca o constantă de integrare arbitrară, care poate fi determinată dacă valoarea integralei la un moment dat este cunoscută. Fiecare funcție are un număr infinit de antiderivate.

Reguli pentru integrarea funcțiilor

\int Cf(x)\,dx=C\int f(x)\,dx

\int [f(x) + g(x)]\,dx = \int f(x)\,dx + \int g(x)\,dx

\int f(x)g(x)\,dx=f(x)\int g(x)\,dx-\int \left(\int g(x)\,dx\right)\, df(x)

\int f(ax+b)\,dx = {1 \over a} F(ax+b)\,+C

Integrale ale funcțiilor elementare

Funcții raționale

\int \!0\,dx=C

(antiderivata lui zero este o constantă; în orice domeniu de integrare, integrala lui zero este egală cu zero)

\int \!a\,dx=ax+C

\int \!x^{n}\,dx={\begin{cases}{\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C,&n\neq -1\\ \ln \left|x\right|+C,&n=-1\end{cases}}

\int\!{dx \over {a^2+x^2}} = {1 \over a}\,\operatorname{arctg}\,\frac{x}{a} + C = - {1 \over a}\,\operatorname{arcctg}\,\frac{x}{a} + C

Dovada

Să facem o înlocuire , obținem $x=a\operatorname {tg} t$

$\int \!{dx \over {a^{2}+x^{2}}}=\int \!{d(a\operatorname {tg} t) \over a^{2}+( a\operatorname {tg} t)^{2}}={1 \over a}\int \!{\cos ^{2}t \over \cos ^{2}t}dt={t \over a} +C={1 \over a}\operatorname {arctg} {x \over a}+C.$

\int\!{dx \over {x^2-a^2}} = {1 \over 2a}\ln \left|{xa \over {x+a}}\right| +C

(„logaritm mare”)

Logaritmi

\int\!\ln {x}\,dx = x \ln {x} - x + C

\int \frac{dx}{x\ln x} = \ln|\ln x|+ C

\int\!\log_b {x}\,dx = x\log_b {x} - x\log_b {e} + C = x\frac{\ln {x} - 1}{\ln b} + C

Funcții exponențiale

\int\!e^x\,dx = e^x + C

\int\!a^x\,dx = \frac{a^x}{\ln{a}} + C

Funcții iraționale

\int\!{dx \over \sqrt{a^2-x^2}} = \arcsin {x \over a} + C

\int\!{-dx \over \sqrt{a^2-x^2}} = \arccos {x \over a} + C

\int\!{dx \over x\sqrt{x^2-a^2}} = {1 \over a}\,\operatorname{arcsec}\,{|x| \over a} + C

\int \!{dx \over {\sqrt {x^{2}\pm a^{2)}})=\ln \left|{x+{\sqrt {x^{2}\pm a ^{2}}}}\dreapta|+C

("logaritm lung")

\int \!{\sqrt {x^{2}+a^{2}}}\,dx={1 \over 2}({x}{\sqrt {x^{2}+a^ {2}}}+{a}\ln |x+{\sqrt {x^{2}+a^{2}}}|)+C

Dovada

Să presupunem că . Să folosim funcții hiperbolice , să facem înlocuirea $a<0$ $x\geq 0$ $x={\sqrt {-a}}\operatorname {ch} t,t\geq 0$

${\begin{aliniat}\int \!{\sqrt {x^{2}+a}}dx&=\int {\sqrt {({\sqrt {-a}}\operatorname {ch} t) ^{2}+a}}d({\sqrt {-a}}\operatorname {ch} t)=-a\int {\sqrt {\operatorname {ch} ^{2}t-1}}\operatorname {sh} tdt\\&=-a\int \operatorname {sh} ^{2}tdt=-a\int {\operatorname {ch} 2t-1 \over 2}dt={-a \over 2}\ stânga({\operatorname {sh} 2t \over 2}-t\right)+C_{1}\\&={-a \over 2}(\operatorname {sh} t\operatorname {ch} tt)+C_ {1}\end{aliniat}}$

Dar

$\operatorname {sh} t={\sqrt {\operatorname {ch} ^{2}-1}}={\sqrt {{x^{2} \over -a}-1}}={{ \sqrt {x^{2}+a}} \over {\sqrt {-a}}},$ $\operatorname {sh} t\operatorname {ch} t=x({\sqrt {x^{2}+a}} \over -a},$ $e^{t}=\operatorname {sh} t+\operatorname {ch} t={x+{\sqrt {x^{2}+a}} \over {\sqrt {-a}}}.$

De aceea

$t=\ln {x+{\sqrt {x^{2}+a}} \over {\sqrt {-a}}}.$

Prin urmare, incluzând logaritmul numitorului ultimei fracții din constanta C, obținem

$\int \!{\sqrt {x^{2}+a}}\,dx={x \over 2}{\sqrt {x^{2}+a}}+{a \over 2} \ln |x+{\sqrt {x^{2}+a}}|+C$

Dacă , atunci prin substituție reducem integrala la cazul deja considerat. Dacă , atunci facem o înlocuire și efectuăm raționamente similare cazului considerat [1] . $x<0$ $x=-t,t>0$ $a>0$ $x={\sqrt {a}}\operatorname {sh} t$

Funcții trigonometrice

\int\!\sin{x}\, dx = -\cos{x} + C

\int\!\cos{x}\, dx = \sin{x} + C

\int\!\operatorname{tg}\, {x} \, dx = -\ln{\left| \cos {x} \right|} + C

Dovada

$\int \!\operatorname{tg}\, {x} \, dx = \int \frac {\sin x} {\cos x} dx= - \int \frac {d (\cos x) } {\cos x} = - \ln | \cos x | +C$

\int\!\operatorname{ctg}\, {x} \, dx = \ln{\left| \sin{x} \right|} + C

Dovada

$\int \!\operatorname{ctg}\, {x} \, dx = \int \frac {\cos x} {\sin x} dx= \int \frac {d (\sin x) } {\sin x } = \ln | \sin x | +C$

\int\!\sec{x} \, dx = \ln{\left| \sec{x} + \operatorname{tg}\,{x}\right|} + C

\int \!\operatorname {cosec} {x}\,dx=-\ln {\left|\operatorname {cosec} {x}+\operatorname {ctg} \,{x}\right|}+ C

\int\!\sec^2 x \, dx = \int\!{dx \over \cos^2 x} = \operatorname{tg}\,x + C

\int \!\operatorname {cosec} ^{2}x\,dx=\int \!{dx \over \sin ^{2}x}=-\operatorname {ctg} \,x+C

\int\!\sec{x} \, \operatorname{tg}\,{x} \, dx = \sec{x} + C

\int \!\operatorname {cosec} {x}\,\operatorname {ctg} \,{x}\,dx=-\operatorname {cosec} {x}+C

\int\!\sin^2 x \, dx = \frac{1}{2}(x - \sin x \cos x) + C

\int\!\cos^2 x \, dx = \frac{1}{2}(x + \sin x \cos x) + C

\int\!\sin^nx \, dx = - \frac{\sin^{n-1} {x} \cos {x}}{n} + \frac{n-1}{n} \int\ !\sin^{n-2}{x} \, dx, n\in\mathbb{N}, n\geqslant 2

\int\!\cos^nx \, dx = \frac{\cos^{n-1} {x} \sin {x}}{n} + \frac{n-1}{n} \int\! \cos^{n-2}{x} \, dx, n\in\mathbb{N}, n\geqslant 2

\int\!\operatorname{arctg}\,{x} \, dx = x \, \operatorname{arctg}\,{x} - \frac{1}{2}\ln{\left( 1 + x^ 2 \right)} + C

Funcții hiperbolice

\int \operatorname{sh}\,x \, dx = \operatorname{ch}\,x + C

\int \operatorname{ch}\,x \, dx = \operatorname{sh}\,x + C

\int \frac{dx}{\operatorname{ch}^2\,x} = \operatorname{th}\,x + C

\int \frac{dx}{\operatorname{sh}^2\,x} = - \operatorname{cth}\,x + C

\int \operatorname{th}\,x \, dx = \ln |\operatorname{ch}\,x| +C

\int \operatorname{csch}\,x \, dx = \ln\left| \operatorname{th}\,{x \over2}\right| +C

\int \operatorname {sech} \,x\,dx=\operatorname {arctg} \,\operatorname {sh} \,x+C

de asemenea

\int \operatorname{sech}\,x \, dx = 2\, \operatorname{arctg}\, (e^x) + C

de asemenea

\int \operatorname{sech}\,x \, dx = 2\, \operatorname{arctg} \, \left(\operatorname{th}\, \frac{x}{2}\right) + C

\int \operatorname{cth}\,x \, dx = \ln|\operatorname{sh}\,x| +C

Dovada de

Dovada formulei : $\int \operatorname {sech} \,x\,dx=\operatorname {arctg} \operatorname {sh} \,x+C$

\int \operatorname {sech} \,x\,dx=\int {dx \over \operatorname {ch} x}=\int {\operatorname {ch} x \over \operatorname {ch} ^{2 }x}dx=\int {d(\operatorname {sh} x) \over 1+\operatorname {sh} ^{2}x}=\operatorname {arctg} \operatorname {sh} x+C

Dovada formulei : . $\int \operatorname{sech}\,x \, dx = 2\operatorname{arctg}(e^x) + C$ $\int \operatorname {sech} \,x\,dx=\int {dx \over \operatorname {ch} x}=2\int {dx \over e^{x}+e^{-x} }=2\int {d{e^{x}} \over 1+e^{2x}}=2\operatorname {arctg} (e^{x})+C$

Dovada formulei : $\int \operatorname{sech}\,x \, dx = 2\, \operatorname{arctg}\,\left(\operatorname{th}\, \frac{x}{2}\right) + C$

{\begin{aligned}\int \operatorname {sech} \,x\,dx&=\int {1 \over \operatorname {ch} x}dx=\int {dx \over \operatorname {sh} ^ {2}{x \over 2}+\operatorname {ch} ^{2}{x \over 2}}=2\int {d({x \over 2}) \over \operatorname {ch} ^{2 }{x \over 2}(1+\operatorname {th} ^{2}{x \over 2})}\\&=2\int {d(\operatorname {th} {x \over 2}) \ peste 1+\operatorname {th} ^{2}{x \over 2}}=2\,\operatorname {arctg} \,\left(\operatorname {th} \,{\frac {x}{2}} \right)+C\end{aliniat}}

Caracteristici speciale

\int \operatorname {Ci} (x)\,dx=x\operatorname {Ci} (x)-\sin x

\int \operatorname {Si} (x)\,dx=x\operatorname {Si} (x)+\cos x

\int \operatorname {Ei} (x)\,dx=x\operatorname {Ei} (x)-e^{x}

\int \operatorname {li} (x)\,dx=x\operatorname {li} (x)-\operatorname {Ei} (2\ln x)

\int {\frac {\operatorname {li} (x)}{x}}\,dx=\ln x\,\operatorname {li} (x)-x

\int \operatorname {erf} (x)\,dx={\frac {e^{-x^{2}}}{\sqrt {\pi }}}+x\operatorname {erf} (x )

Note

↑ Vinogradova I.A., Olehnik S.N., Sadovnichiy V.A. Probleme și exerciții de analiză matematică. In 2 carti. Carte. 1 / Ed. V.A. Sadovnici. - Ed. a II-a. - M .: Şcoala Superioară , 2000. - S. 187. - ISBN 5-06-003768-1 .

Bibliografie

Cărți

Gradshtein I. S., Ryzhik I. M. Tabele de integrale, sume, serii și produse. - a 4-a ed. - M .: Nauka, 1963. - ISBN 0-12-294757-6 // EqWorld
Dvait G. B. Tabele de integrale Sankt Petersburg: Editura și tipografia SA VNIIG im. B. V. Vedeneeva, 1995. - 176 p. — ISBN 5-85529-029-8 . // EqWorld
D. Zwillinger. CRC Standard Mathematical Tables and Forms , ed. 31, 2002. ISBN 1-58488-291-3 .
M. Abramowitz și I. A. Stegun, eds. Manual de funcții matematice cu formule, grafice și tabele matematice , 1964. ISBN 0-486-61272-4
Korn G. A., Korn T. M. Manual de matematică pentru oameni de știință și ingineri . - M .: " Nauka ", 1974.

Tabelele de integrale

Calculul integralelor

Liste de integrale pe tipuri de funcții
Elementar raţional iraţional trigonometric verso hiperbolic verso exponenţială funcții logaritmice