Spațiu stereotip

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 6 octombrie 2020; verificarea necesită 1 editare .

În analiza funcțională și în domeniile conexe ale matematicii , spațiile stereotip sunt o clasă de spații vectoriale topologice , care se disting printr-o condiție specială de reflexivitate . Această clasă are o serie de proprietăți remarcabile, în special, este foarte largă (de exemplu, conține toate spațiile Fréchet și, prin urmare, toate spațiile Banach ), este formată din spații supuse unei anumite condiții de completitate și formează o categorie monoidală închisă cu mijloace analitice standard pentru construirea de noi spații, cum ar fi trecerea la un subspațiu închis, spațiu de coeficient, limite proiective și injective, spațiu operator, produse tensorale etc.

Definiția și criteriul stereotipului

Un spațiu stereotip [1] este un spațiu vectorial topologic peste câmpul numerelor complexe [2] astfel încât maparea naturală la al doilea spațiu dual $X$ $\mathbb {C}$

i:X\to X^{\star \star },\quad i(x)(f)=f(x),\quad x\in X,\quad f\in X^{\star }

este un izomorfism al spațiilor vectoriale topologice (adică o mapare liniară și homeomorfă ). Aici spațiul dual este definit ca spațiul tuturor funcționalelor liniare continue dotate cu topologia convergenței uniforme pe mulțimi total mărginite în , iar al doilea spațiu dual este spațiul dual la în același sens. $X^{\star }$ $f:X\to \mathbb {C}$ $X$ $X^{\star \star }$ $X^{\star }$

Următorul criteriu este adevărat: [1] un spațiu vectorial topologic este stereotip dacă și numai dacă este local convex și îndeplinește următoarele două condiții: $X$

pseudocompletitudine : fiecare direcționalitate Cauchy complet mărginită în converge, $X$
pseudosaturație : orice capacitate echilibrată convexă închisă [ 3] stabilită în este o vecinătate de zero în . $D$ $X$ $X$

Pseudocompletitudinea este o slăbire a proprietății obișnuite de completitudine, iar pseudosaturarea este o slăbire a proprietății barilate a unui spațiu vectorial topologic.

Exemple

Fiecare spațiu pseudocomplet (în special, fiecare spațiu Banach și fiecare spațiu Fréchet) este stereotip. Un spațiu convex local metrizabil este stereotip dacă și numai dacă este complet. Dacă este un spațiu normat și este o topologie slabă pe , generată de funcționalele spațiului dual , atunci spațiul este stereotipic față de topologie dacă și numai dacă este finit-dimensional. Există spații stereotipe care nu sunt spații Mackey . $X$ $X$ $X$ $\sigma$ $X$ $X^{\star }$ $\sigma$ $X$

Cele mai simple conexiuni dintre proprietățile unui spațiu stereotip și spațiul său dual sunt exprimate prin următoarea listă de regularități [1] [4] : $X$ $X^{\star }$

$X$ normal - spațiu Banach - spațiu Smith ; $\Lungileftrightarrow$ $X$ $\Lungileftrightarrow$ $X^{\star }$

$X$ metrizable - spațiu Fréchet - spațiu Brauner ; $\Lungileftrightarrow$ $X$ $\Lungileftrightarrow$ $X^{\star }$

$X$ butoiul are proprietatea Heine-Borel; $\Lungileftrightarrow$ $X^{\star }$

$X$ cvasi -baril în orice subset absorbit de orice butoi este complet delimitat; $\Lungileftrightarrow$ $X^{\star }$ $T$

$X$ — spațiul Mackey în orice set slab compact este compact; $\Lungileftrightarrow$ $X^{\star }$ $X$

$X$ — spațiul Montel este barilat și are proprietatea Heine-Borel — spațiul Montel; $\Lungileftrightarrow$ $X$ $\Lungileftrightarrow$ $X^{\star }$

$X$ — spațiul cu topologia slabă este finit-dimensional în orice spațiu compact ; $\Lungileftrightarrow$ $X^{\star }$ $T$

$X$ este separabil în există o succesiune de subspații închise de codimensiune finită cu intersecție trivială: . $\Lungileftrightarrow$ $X^{\star }$ $L_{n}$ $\bigcap _{n=1}^{\infty }L_{n}=\{0\)$

$X$ are proprietatea de aproximare (clasică) are proprietatea de aproximare (clasică); $\Lungileftrightarrow$ $X^{\star }$

$X$ complet complet [5] saturat [6] ; $\Lungileftrightarrow$ $X^{\star }$ $\Lungileftrightarrow$ $X^{\star }$

$X$ — spațiul Ptak [7] în orice subspațiu care lasă o urmă închisă pe fiecare set compact din este închis automat; $\Lungileftrightarrow$ $X^{\star }$ $L$ $L\cap K$ $K$ $X^{\star }$

$X$ — un spațiu hipercomplet [8] în orice set echilibrat convex, lăsând o urmă închisă pe fiecare set compact, este închis automat. $\Lungileftrightarrow$ $X^{\star }$ $B$ $B\cap K$ $K$ $X^{\star }$

Istorie

Primele rezultate care descriu acest tip de reflexivitate a spațiilor vectoriale topologice au fost obținute de M. F. Smith [9] în 1952. Cercetări suplimentare în acest domeniu au fost efectuate de B. S. Brudovsky, [10] W. S. Waterhouse, [11] K. Browner, [12] S. S. Akbarov, [1] [4] [13] [14] și E. T. Shavgulidze . [15] Termenul „spațiu stereotip” a fost introdus de S. S. Akbarov în 1995 [16] . Principalele proprietăți ale categoriei de spații stereotip au fost descrise de S. S. Akbarov într-o serie de lucrări 1995-2017.

Pseudo-completare și pseudo-saturare

Orice spațiu local convex poate fi transformat într-un spațiu stereotip folosind operațiile standard descrise de următoarele propoziții. [unu] $X$

1. Fiecare spațiu local convex poate fi asociat cu o mapare liniară continuă într-un spațiu pseudocomplet convex local , numit pseudocompletare spațiu , astfel încât să fie îndeplinite următoarele condiții: $X$ $\triangledown _{X}:X\to X^{\triangledown }$ $X^{\triangledown }$ $X$

$X$ este pseudocomplet dacă și numai dacă este un izomorfism; $\triangledown _{X}:X\to X^{\triangledown }$
pentru orice mapare liniară continuă a spațiilor convexe local, există o mapare continuă liniară unică astfel încât . $\varphi:X\la Y$ $\varphi ^{\triangledown}:X^{\triangledown }\to Y^{\triangledown }$ $\triangledown _{Y}\circ \varphi =\varphi ^{\triangledown }\circ \triangledown _{X}$

Intuitiv, se poate gândi la un spațiu pseudo-complet ca „cel mai aproape de exterior” spațiu pseudo-complet local convex, astfel încât operația adaugă unele elemente la, dar nu schimbă topologia (similar cu operația obișnuită de completare). $X$ $X$ $X\mapsto X^{\triangledown )$ $X$ $X$

2. Orice spațiu local convex poate fi asociat cu o mapare liniară continuă dintr-un spațiu pseudo -saturat local convex , numit pseudo-saturație spațială , în așa fel încât să fie îndeplinite următoarele condiții: $X$ $\vartriangle _{X}:X^{\vartriangle }\to X$ $X^{\vartriangle }$ $X$

$X$ este pseudosaturat dacă și numai dacă este un izomorfism; $\vartriangle _{X}:X^{\vartriangle }\to X$
pentru orice mapare liniară continuă a spațiilor convexe local, există o mapare continuă liniară unică astfel încât . $\varphi:X\la Y$ $\varphi ^{\vartriangle}:X^{\vartriangle}\la Y^{\vartriangle }$ $\varphi \circ \vartriangle _{X}=\vartriangle _{Y}\circ \varphi ^{\vartriangle }$

Pseudo-saturarea unui spațiu poate fi gândită intuitiv ca „cel mai aproape de interior” spațiu pseudo-saturat local convex, astfel încât operația întărește topologia , dar nu îi schimbă elementele. $X$ $X$ $X\mapsto X^{\vartriangle }$ $X$

Dacă este un spațiu convex local pseudocomplet, atunci pseudosaturația sa este stereotipă. Dual, dacă este un spațiu pseudo-saturat local convex, atunci pseudo-completarea sa este stereotipă. Pentru un spațiu arbitrar local convex , spațiile și sunt stereotipe [17] . $X$ $X^{\vartriangle }$ $X$ $X^{\triangledown }$ $X$ $X^{\vartriangle \triangledown )$ ${\displaystyle X^{\triangledown \vartriangle ))$

Categoria spațiilor stereotip

Clasa Ste de spații stereotip formează o categorie cu mapări liniare continue ca morfisme și are următoarele proprietăți: [1] [13]

Ste este o categorie pre-abeliana;
Ste - categoria completă și cocompletă;
Ste este o categorie auto-duală în raport cu functorul de tranziție la spațiul dual; $X\mapsto X^{\star }$
Ste este o categorie cu descompunere nodală : fiecare morfism are o descompunere , unde este un epimorfism strict, este un bimorfism și este un monomorfism strict. $\varphi:X\la Y$ $\varphi =\sigma \circ \beta \circ \pi$ $\pi$ $\beta$ $\sigma$

Pentru oricare două spații stereotip și spațiul stereotip al operatorilor de la până la este definit ca pseudosaturarea spațiului tuturor mapărilor liniare continue dotate cu topologia convergenței uniforme pe mulțimi complet mărginite. Spațiul este stereotip. Este folosit pentru a defini două produse tensorale naturale în Ste : $X$ $Y$ $Y\oslash X$ $X$ $Y$ ${\text{L}}(X,Y)$ $\varphi:X\la Y$ $Y\oslash X$

X\circledast Y:=(Y^{\star }\oslash X)^{\star },

X\odot Y:=Y\oslash X^{\star }.

Teorema. Următoarele identități naturale dețin în categoria Ste : [1] [14] :

\mathbb {C} \circledast X\cong X\cong X\circledast \mathbb {C} ,

\mathbb {C} \odot X\cong X\cong X\odot \mathbb {C} ,

X\circledast Y\cong Y\circledast X,

X\odot Y\cong Y\odot X,

(X\circledast Y)\circledast Z\cong X\circledast (Y\circledast Z),

(X\odot Y)\odot Z\cong X\odot (Y\odot Z),

(X\circledast Y)^{\star }\cong Y^{\star }\odot X^{\star },

(X\odot Y)^{\star }\cong Y^{\star }\circledast X^{\star },

X\oslash Y\cong Y^{\star }\oslash X^{\star },

X\oslash (Y\circledast Z)\cong (X\oslash Y)\oslash Z,

(X\odot Y)\oslash Z\cong X\odot (Y\oslash Z)

În special, Ste este o categorie monoidală simetrică în raport cu un bifunctor , o categorie monoidală închisă simetrică în raport cu un bifunctor și un functor hom interior și o categorie *-autonomă :

\odot

\circledast

\oslash

X^{\star }\oslash (Y\circledast Z)\cong (X\circledast Y)^{\star }\oslash Z,

Kernel și cokernel în categoria Ste

Deoarece Ste este o categorie pre-abeliană, fiecare morfism din ea are un nucleu , un co-nucleu, o imagine și o co-imagine. Aceste obiecte satisfac următoarele identități naturale: [1] $\varphi:X\la Y$

({\text{ker}}\varphi )^{\star }={\text{coker}}(\varphi ^{\star }),\qquad ({\text{coker}}\varphi) ^{\star }={\text{ker}}(\varphi ^{\star }),

({\text{im}}\varphi )^{\star }={\text{coim}}(\varphi ^{\star }),\qquad ({\text{coim}}\varphi) ^{\star }={\text{im}}(\varphi ^{\star }),

({\text{Ker}}\varphi )^{\perp \vartriangle}={\text{Im}}(\varphi ^{\star }),\qquad ({\text{Im}}\ varphi )^{\perp \vartriangle }={\text{Ker}}(\varphi ^{\star }),

{\text{Ker}}\varphi =({\text{Im}}(\varphi ^{\star }))^{\perp \vartriangle },\qquad {\text{Im}}\varphi =({\text{Ker}}(\varphi ^{\star }))^{\perp \vartriangle }.

Limite directe și inverse în categoria Ste

Următoarele identități naturale sunt valabile: [1] [14]

{\Big (}\bigoplus _{i\in I}X_{i}{\Big )}^{\star }\cong \prod _{i\in I}X_{i}^{\star }

{\Big (}\prod _{i\in I}X_{i}{\Big )}^{\star }\cong \bigoplus _{i\in I}X_{i}^{\star }

Y\oslash {\Big (}\bigoplus _{i\in I}X_{i}{\Big )}\cong \prod _{i\in I}(Y\oslash X_{i})

{\Big (}\prod _{j\in J}Y_{j}{\Big )}\oslash X\cong \prod _{j\in J}(Y_{j}\oslash X)

{\Big (}\bigoplus _{i\in I}X_{i}{\Big )}\circledast {\Big (}\bigoplus _{j\in J}Y_{j}{\Big ) }\cong \bigoplus _{i\in I,j\in J}(X_{i}\circledast Y_{j})

{\Big (}\prod _{i\in I}X_{i}{\Big )}\odot {\Big (}\prod _{j\in J}Y_{j}{\Big ) }\cong \prod _{i\in I,j\in J}(X_{i}\odot Y_{j})

{\Big (}\lim _{i\to \infty }X_{i}{\Big )}^{\star }\cong \lim _{\infty \gets i}X_{i}^{ \stea}

{\Big (}\lim _{\infty \gets i}X_{i}{\Big )}^{\star }\cong \lim _{i\to \infty }X_{i}^{ \stea}

Y\oslash {\Big (}\lim _{i\to \infty }X_{i}{\Big )}\cong \lim _{\infty \gets i}(Y\oslash X_{i} )

{\Big (}\lim _{\infty \gets j}Y_{j}{\Big )}\oslash X\cong \lim _{\infty \gets j}(Y_{j}\oslash X )

{\Big (}\lim _{i\to \infty }X_{i}{\Big )}\circledast {\Big (}\lim _{j\to \infty }Y_{j}{\ Mare )}\cong \lim _{i,j\to \infty }(X_{i}\circledast Y_{j})

{\Big (}\lim _{\infty \gets i}X_{i}{\Big )}\odot {\Big (}\lim _{\infty \gets j}Y_{j}{\ Mare )}\cong \lim _{\infty \gets i,j}(X_{i}\odot Y_{j})

(aici --- limită directă și --- limită inversă în categoria Ste ). $\lim _{i\to \infty }$ $\lim _{\infty \gets i)$

Transformarea Grothendieck

Dacă și sunt spații stereotip, atunci pentru orice elemente și formula $X$ $Y$ $x\în X$ $y\în Y$

(x\circledast y)(\varphi)=\varphi (y)(x),\qquad \varphi \in X^{\star }\oslash Y

definește un tensor elementar și formula $x\circledast y\in X\circledast Y=(X^{\star }\oslash Y)^{\star }$

(x\odot y)(f)=f(x)\cdot y,\qquad f\in X^{\star }

--- tensor elementar $x\odot y\in X\odot Y=Y\oslash X^{\star }$

Teorema. [1] Pentru orice spații stereotip și există o mapare liniară continuă unică care mapează tensorii elementari la tensorii elementari

X

Y

\Gamma _{X,Y}:X\circledast Y\la X\odot Y

x\circledast y

x\odot y

\Gamma _{X,Y}(x\circledast y)=x\odot y,\qquad x\in X,\ y\in Y.

Familia de cartografiere definește o transformare naturală a unui bifunctor într-un bifunctor

\Gamma _{X,Y}:X\circledast Y\la X\odot Y

\circledast

\odot

Maparea se numește transformarea Grothendieck . $\Gamma _{X,Y}$

Proprietatea aproximării stereotipului

Se spune că un spațiu stereotip are proprietatea aproximării stereotipului , dacă fiecare hartă liniară continuă poate fi aproximată în spațiul stereotip al operatorilor prin hărți continue liniare de dimensiuni finite. Această condiție este mai slabă decât existența unei baze Schauder în , dar formal mai puternică decât proprietatea de aproximare clasică (cu toate acestea, încă nu se știe (2013) dacă aproximarea stereotipului coincide cu cea clasică). $X$ $\varphi:X\la Y$ $X\oslash X$ $X$

Teorema. [1] Pentru un spațiu stereotip, următoarele condiții sunt echivalente:

X

(i) are proprietatea de aproximare a stereotipului;

X

(ii) transformarea Grothendieck este un monomorfism (în categoria Ste );

\Gamma _{X,X^{\star }}:X\circledast X^{\star }\to X\odot X^{\star }

(iii) transformarea Grothendieck este un epimorfism (în categoria Ste );

\Gamma _{X,X^{\star }}:X\circledast X^{\star }\to X\odot X^{\star }

(iv) pentru fiecare spațiu stereotip transformarea Grothendieck este un monomorfism (în categoria Ste );

Y

\Gamma _{X,Y}:X\circledast Y\la X\odot Y

(v) pentru orice spațiu stereotip, transformarea Grothendieck este un epimorfism (în categoria Ste ).

Y

\Gamma _{X,Y}:X\circledast Y\la X\odot Y

Teorema. [1] Dacă două spații stereotip și au proprietatea de aproximare stereotip, atunci spațiile , și au, de asemenea, proprietatea de aproximare stereotip.

X

Y

X\oslash Y

X\circledast Y

X\odot Y

În special, dacă are proprietatea de aproximare a stereotipului, atunci același lucru este valabil și pentru și . $X$ $X^{\star }$ $X\oslash X$

Aplicații

Fiind o categorie monoidală simetrică, Ste generează conceptele unei algebre stereotip (ca monoid în Ste ) și modul stereotip (ca modul în Ste peste un astfel de monoid). Pentru orice algebră stereotip , categoriile Ste și Ste ale modulelor stereotip stânga și dreapta peste sunt categorii relative peste Ste . [1] Aceasta distinge categoria Ste de alte categorii cunoscute de spații local convexe, deoarece până de curând doar categoria Ban a spațiilor Banach și categoria Fin a spațiilor cu dimensiuni finite erau cunoscute că au această proprietate. Pe de altă parte, categoria Ste este atât de largă, iar mijloacele pe care le oferă pentru construirea de noi spații sunt atât de diverse, încât acest lucru sugerează că toate rezultatele analizei funcționale pot fi reformulate în cadrul teoriei stereotipului fără pierderi semnificative. Urmând această idee, se poate încerca înlocuirea completă a categoriei de spații local convexe din analiza funcțională (și domenii aferente) cu categoria Ste de spații stereotip pentru a compara teoriile rezultate pentru a găsi posibile simplificări - acest program a fost anunțat de către S. Akbarov în 2005 [18] și următoarele rezultate confirmă semnificația acestuia: $A$ $A$ $A$ $A$

În teoria spațiilor stereotip, proprietatea de aproximare este moștenită de spațiile operatorilor și produsele tensorale. Acest lucru face posibilă reducerea numărului de contraexemple în comparație cu teoria spațiilor Banach, unde, după cum se știe, spațiul operatorilor nu moștenește proprietatea de aproximare. [19]
Teoria emergentă a algebrelor stereotipului face posibilă simplificarea construcțiilor în teoriile dualității ale grupurilor necomutative. În special, algebrele de grup din aceste teorii se transformă în algebre Hopf în sensul algebric obișnuit. [4] [14] [20]

Note

↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 S.S. Akbarov, 2003.
↑ ...sau peste câmpul numerelor reale cu o definiție similară. $\mathbb {R}$
↑ O mulțime se numește capacitate dacă pentru fiecare mulțime complet mărginită există o mulțime finită astfel încât $D\subseteq X$ $A\subseteq X$ $F\subseteq X$ $A\subseteq D+F$
↑ 1 2 3 S.S. Akbarov, 2008.
↑ Un spațiu local convex se numește cocomplet dacă fiecare funcțională liniară care este continuă pe fiecare mulțime complet mărginită este continuă pe tot . $X$ $f:X\to \mathbb {C}$ $S\subseteq X$ $X$
↑ Un spațiu local convex se numește saturat dacă în el, pentru ca mulțimea să fie o vecinătate de zero, este suficient să fie convex, echilibrat și ca pentru fiecare mulțime complet mărginită să existe o vecinătate închisă a zero într -un astfel de spațiu. că . $X$ $B$ $B$ $S\subseteq X$ $U$ $X$ $B\cap S=U$
↑ Un spațiu local convex se numește spațiu Ptak sau perfect complet dacă orice subspațiu din spațiul dual este slab închis atunci când lasă o urmă slab închisă pe polara fiecărei vecinătăți a lui zero . $X$ $X^{\star }$ $Q\subseteq X^{\star }$ $X$ $X$ $U^{\circ )$ $U\subseteq X$
↑ Un spațiu local convex se numește hipercomplet dacă în spațiul dual orice mulțime absolut convexă este -slab închis atunci când lasă o urmă -slab închis pe polara oricărei vecinătăți a lui zero . $X$ $X^{\star }$ $Q\subseteq X^{\star }$ $X$ $X$ $U^{\circ )$ $U\subseteq X$
↑ M. F. Smith, 1952.
↑ BSBrudovski, 1967.
↑ WCWaterhouse, 1968.
↑ K.Brauner, 1973.
↑ 1 2 S.S. Akbarov, 2013.
↑ 1 2 3 4 S.S. Akbarov (2017 ).
↑ SSAkbarov, ETShavgulidze, 2003.
↑ SSAkbarov (1995 ).
↑ Problema coincidenței rămâne deschisă (2013). $X^{\vartriangle \triangledown )$ ${\displaystyle X^{\triangledown \vartriangle ))$
↑ SSAkbarov, 2005.
↑ A.Szankowski, 1981.
↑ J.Kuznetsova, 2013

Literatură

Schaefer, H. Spații vectoriale topologice. - Moscova: Mir, 1971.
Robertson A.P., Robertson, W.J. Spații vectoriale topologice. - Moscova: Mir, 1967.
Smith, MF Teorema dualității Pontrjagin în spații liniare (engleză) // Annals of Mathematics : journal. - 1952. - Vol. 56 , nr. 2 . - P. 248-253 .
Brudovski, BS Despre k- și c-reflexivitatea spațiilor vectoriale convexe local (engleză) // Lithuanian Mathematical Journal : journal. - 1967. - Vol. 7 , nr. 1 . - P. 17-21 .
Waterhouse, WC Grupuri duale de spații vectoriale (engleză) // Pac. J Math. : jurnal. - 1968. - Vol. 26 , nr. 1 . - P. 193-196 .
Brauner, K. Duale de spații Frechet și o generalizare a teoremei Banach-Dieudonne (engleză) // Duke Math. Jour. : jurnal. - 1973. - Vol. 40 , nr. 4 . - P. 845-855 .
Akbarov, S.S. Dualitatea Pontryagin în teoria spațiilor vectoriale topologice // Note matematice : jurnal. - 1995. - T. 57 , nr. 3 . - S. 463-466 . - doi : 10.1007/BF02303980 . (Rusă)
Akbarov, SS Pontryagin dualitate în teoria spațiilor vectoriale topologice și în algebra topologică (engleză) // Journal of Mathematical Sciences : jurnal. - 2003. - Vol. 113 , nr. 2 . - P. 179-349 . (link indisponibil)
Akbarov, S.S. Funcții holomorfe de tip exponențial și dualitate pentru grupuri Stein cu o componentă conexă algebrică de unitate // Matematică fundamentală și aplicată: jurnal. - 2008. - T. 14 , nr 1 . - S. 3-178 . - arXiv : 0806.3205 . (Rusă)
Akbarov, SS Plicuri și rafinamente pe categorii, cu aplicații la analiza funcțională (engleză) // Dissertationes Mathematicae : jurnal. - 2016. - Vol. 513 . - P. 1 - 188 . - arXiv : 1110.2013 .
Akbarov, S.S.; Shavgulidze, ET Despre două clase de spații reflexive în sensul lui Pontryagin (engleză) // Mat. Sbornik: jurnal. - 2003. - Vol. 194 , nr. 10 . - P. 3-26 .
Akbarov, S.S. Anvelope continue și netede ale algebrelor topologice. Partea 1 // Itogi nauki i tekhniki. Ser. Modern mat. și aplicația ei. Subiect. revizuire : revista. - 2017. - T. 129 . - S. 3-133 . - doi : 10.1007/s10958-017-3599-6 . - arXiv : 1303.2424v10 . (Rusă)
Akbarov, S.S. Anvelope continue și netede ale algebrelor topologice. Partea 2 // Itogi nauki i tekhniki. Ser. Modern mat. și aplicația ei. Subiect. revizuire : revista. - 2017. - T. 130 . - S. 3-112 . - doi : 10.1007/s10958-017-3600-4 . - arXiv : 1303.2424v10 . (Rusă)
Kuznetsova, J. O dualitate pentru grupurile Moore // Journal of Operator Theory. - 2013. - T. 69 , nr 2 . - S. 101-130 .
Akbarov, SS Pontryagin dualitate și algebre topologice (engleză) // Publicații Centrului Banach : jurnal. - 2005. - Vol. 67 . - P. 55 - 71 .
Szankowski, A. B(H) nu are proprietatea de aproximare // Act. Matematică.. - 1981. - T. 147 . — S. 147:89-108 .