Operator strict singular
Se spune că un operator liniar mărginit între spații normate este puternic singular dacă restricția sa la orice subspațiu cu dimensiuni infinite nu este un izomorfism . Adică, operatorul în este strict singular dacă pentru orice subspațiu cu dimensiuni infinite din spațiu și orice număr real pozitiv există un vector astfel încât .
Orice operator compact este strict singular. Pentru multe spații, este adevărat și invers. În special, dacă pentru sau , atunci orice operator strict singular de la la este compact. Orice operator de la to este strict singular dacă și compact dacă . Produsul a doi operatori strict singulari pe sau pe C(K) este un operator compact.
![{\displaystyle L_{p}[0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f89ee6b3a495b292accdb44d21a1ff090beacb0)
Spectrul unui operator strict singular este fie o mulțime finită, fie o secvență care converge la zero. Punctele diferite de zero ale spectrului sunt valorile proprii ale operatorului.
Ca și operatorii compacti, operatorii puternic singulari formează un operator ideal în sensul lui A. Pietsch. Adică, atunci când un operator strict singular este înmulțit cu un operator mărginit din stânga sau din dreapta, se obține din nou un operator strict singular. În acest caz, operatorii pot acționa între diferite spații.
C.Read a construit un exemplu de operator strict singular fără subspații invariante . T. Gowers și B. Maurey au construit spații Banach în care orice operator este scris ca , unde este un scalar, este un operator identic și este un operator strict singular.
