Spectrul de operator

Spectrul unui operator este un set de numere care caracterizează un operator liniar . Aplicat algebrei liniare , analizei funcționale și mecanicii cuantice .

Caz cu dimensiuni finite

Fie A un operator care acționează într-un spațiu liniar de dimensiuni finite E . Spectrul unui operator (de obicei notat ) este mulțimea valorilor sale proprii . $\sigma (A)$

Matricea de ordin pătrat poate fi privită ca un operator liniar în spațiu n-dimensional , ceea ce ne permite să transferăm termeni „operator” în matrice. În acest caz, se vorbește despre spectrul matricei . $n$

Definiție generală

Fie A un operator care acționează într- un spațiu Banach E peste . Un număr λ se numește regulat pentru un operator A dacă operatorul , numit rezolvător al operatorului A , este definit pe întregul E și este continuu . Mulțimea valorilor obișnuite ale operatorului A se numește mulțimea rezolutivă a acestui operator, iar complementul mulțimii rezolutive se numește spectrul acestui operator . Spectrul unui operator mărginit este compact sau este gol . Spectrul unui operator liniar mărginit este nevid . $\mathbb {C}$ $R(\lambda )=(A-\lambda I)^{{-1}}$ $\sigma (A)$ $\mathbb {C}$

În spectrul unui operator, este posibil să se evidențieze părți care nu sunt identice în proprietățile lor. Una dintre principalele clasificări ale spectrului este următoarea:

Un spectru discret (punctual) este un set al celor pentru care operatorul nu este injectiv . Spectrul discret este mulțimea tuturor valorilor proprii ale operatorului A ; în cazul cu dimensiuni finite, există doar un spectru punctual; $\sigma _{p}(A)$ $\lambda$ $A-\lambda I$
spectrul continuu este mulțimea de valori pentru care rezoluția este definită pe o mulțime densă peste tot în E , dar nu este continuu (adică operatorul este injectiv, dar nu surjectiv , iar imaginea sa este densă peste tot); $\sigma _{c}(A)$ $\lambda$ $(A-\lambda I)^{{-1}}$ $A-\lambda I$
spectrul rezidual este setul de puncte ale spectrului care nu sunt incluse nici în părțile discrete, nici în părțile continue (adică operatorul este injectiv, nu surjectiv, iar imaginea sa nu este peste tot densă). $\sigma _{r}(A)$ $A-\lambda I$

Valoarea maximă absolută a punctelor din spectrul unui operator A se numește raza spectrală a acestui operator și se notează cu . În acest caz, egalitatea este îndeplinită . $r(A)$ $r(A)=\lim _{{n\to \infty }}\|A^{n}\|^{{1/n}}$

În cazul complex, rezoluția este o funcție holomorfă cu valori de operator pe mulțimea de rezoluție. În special, pentru , poate fi extins într- o serie Laurent centrată pe . $\lambda >r(A)$ $z=0$

Diferența dintre cele două valori absolute maxime din spectru se numește decalaj spectral ( ing. decalaj spectral ).

În mecanica cuantică

Spectrul operatorilor auto-adjuncți joacă un rol important în mecanica cuantică , definind setul de valori posibile ale observabilului atunci când este măsurat . În special, spectrul hamiltonianului determină nivelurile de energie admisibile ale unui sistem cuantic .

Spectrul continuu în mecanica cuantică

Un spectru continuu este un spectru de valori ale unei marimi fizice, in care, spre deosebire de un spectru discret, valoarea acestei marimi este determinata pentru fiecare stare proprie a sistemului, iar o modificare infinitezimala a starii sistemului duce la o modificare infinitezimală a mărimii fizice. Următoarele pot acționa ca mărime fizică: coordonate, impuls, energie, moment orbital de mișcare etc. Deoarece o funcție de undă arbitrară poate fi extinsă într-o serie de funcții proprii ale unei mărimi cu un spectru discret, ea poate fi, de asemenea, extinsă într-un integral pe întregul sistem de funcţii proprii de mărime cu un spectru continuu. $\psi$

Vezi și

Proiector (algebră)
Spectrul algebrei

Literatură

Enciclopedie matematică. - M . : Enciclopedia Sovietică, 1984. - T. 5 Slu - Ya. - 1248 p.