Suma Riemann

Suma Riemann este unul dintre mecanismele de determinare a integralei printr-o sumă de forma . Folosit în definiția integralei Riemann . Numit după descoperitorul Bernhard Riemann . $\sum f(x)\Delta x$

Definiție

Fie o funcție definită pe o submulțime pe linia reală . este un interval închis cuprins în . este o partiție în care . $f:D\rightarrow R$ $D$ $R$ $I=[a,b]$ $D$ $P={[x_{0},x_{1}),[x_{1},x_{2}),...[x_{n-1},x_{n}]}$ $eu$ $a=x_{0}<x_{1}<x_{2}...<x_{n}=b$

Suma Riemann a unei funcții împărțite este definită după cum urmează: $f$ $P$

S=\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})(x_{i}-x_{i-1})

unde . Alegerea în acest interval este arbitrară. Dacă pentru toate , atunci se numește suma Riemann stângă . Dacă , atunci se numește suma Riemann corectă . Dacă , atunci se numește suma Riemann medie . Valoarea medie a sumei Riemann din stânga și dreapta se numește suma trapezoidală . $x_{i-1}\leqslant x_{i}^{*}\leqslant x_{i)$ $x_{i}^{*}$ ${\displaystyle x_{i}^{*}=x_{i-1))$ $i$ $S$ $x_{i}^{*}=x_{i)$ $S$ $x_{i}^{*}={\frac {1}{2}}(x_{i}+x_{i-1})$ $S$

Dacă suma Riemann este reprezentată ca:

S=\sum _{i=1}^{n}v_{i}(x_{i}-x_{i-1})

unde este limita superioară exactă a mulțimii pe interval, atunci se numește suma Riemann superioară . În mod similar, dacă este limita inferioară exactă a intervalului stabilit , atunci se numește suma Riemann inferioară . $v_{i}$ $f$ $[x_{i-1},x_{i}]$ $S$ $v_{i}$ $f$ $[x_{i-1},x_{i}]$ $S$

Orice sumă Riemann cu o partiție dată (când alegeți orice valoare din intervalul ) se află între sumele Riemann inferioare și superioare. $x_{i}^{*}$ $[x_{i-1},x_{i}]$

Dacă pentru o funcție și un segment există o limită a sumelor Riemann atunci când treapta de partiție tinde spre zero (indiferent de alegerea lui ), atunci această limită se numește integrala Riemann a funcției de pe segment și se notează cu . $f$ $[a;b]$ $x_{i}^{*}$ $f$ $[a;b]$ $\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx$

Literatură

V.A. Ilyin , V.A. Sadovnici , Bl. H. Sennov . Analiza matematică. Curs inițial. - al 2-lea, revizuit. - Editura Universității din Moscova, 1985. - T. 1. - 660 p.