Segment sferic

Un segment sferic este o suprafață , o parte a unei sfere tăiată de ea de un anumit plan . Planul decupează două segmente: segmentul mai mic este numit și cerc sferic [1] . Dacă planul de tăiere trece prin centrul sferei, atunci înălțimea ambelor segmente este egală cu raza sferei și fiecare dintre aceste segmente sferice se numește emisferă .

Un segment sferic este un corp geometric , o parte a unei bile tăiată de acesta de un anumit plan. Suprafața unui segment sferic este unirea unui segment sferic și a unui cerc (baza segmentului sferic), ale cărui limite coincid.

Volumul și suprafața

Dacă raza bazei segmentului este , înălțimea segmentului este , atunci volumul segmentului sferic este [2] $A$ $h$

V={\frac {\pi h}{6}}(3a^{2}+h^{2}),

aria suprafeței segmentului este

A=2\pi rh

A=2\pi r^{2}(1-\cos \theta).

Parametrii și sunt legați prin relații $A$ $h$ $r$

r^{2}=(rh)^{2}+a^{2}=r^{2}+h^{2}-2rh+a^{2},

r={\frac {a^{2}+h^{2}}{2h}}.

Înlocuirea ultimei expresii în prima formulă de calcul a ariei duce la egalitate

A=2\pi {\frac {(a^{2}+h^{2})}{2h}}h=\pi (a^{2}+h^{2}).

Rețineți că în partea superioară a sferei (segmentul albastru din figură) în partea inferioară a sferei , prin urmare, expresia este valabilă pentru ambele segmente și poate fi dată o altă expresie pentru volum: $h=r-{\sqrt {r^{2}-a^{2))},$ $h=r+{\sqrt {r^{2}-a^{2))},$ $a={\sqrt {h(2r-h)))$

V={\frac {\pi h^{2}}{3}}(3r-h).

Formula de determinare a volumului poate fi obținută și prin integrarea suprafeței de revoluție:

V=\int _{x}^{r}\pi \left(r^{2}-x^{2}\right)dx=\pi \left({\frac {2}{3} }r^{3}-r^{2}x+{\frac {1}{3}}x^{3}\right)={\frac {\pi }{3}}r^{3}(\ cos \theta +2)(\cos \theta -1)^{2}.

Aplicație

Volumul unirii și intersecției a două sfere care se intersectează

Volumul de unire a două sfere de raze r 1 și r 2 este [3]

V=V^{(1)}-V^{(2))

Unde

V^{(1)}={\frac {4\pi }{3}}r_{1}^{3}+{\frac {4\pi }{3}}r_{2}^{ 3}

este suma volumelor celor două sfere separat și

V^{(2)}={\frac {\pi h_{1}^{2}}{3}}(3r_{1}-h_{1})+{\frac {\pi h_{ 2}^{2}}{3}}(3r_{2}-h_{2})

este suma volumelor a două segmente sferice care formează intersecția acestor sfere. Fie d < r 1 + r 2 distanța dintre centrele sferelor, atunci eliminarea valorilor h 1 și h 2 duce la expresia [4] [5]

V^{(2)}={\frac {\pi}}{12d))(r_{1}+r_{2}-d)^{2}\left(d^{2}+2d( r_{1}+r_{2})-3(r_{1}-r_{2})^{2}\dreapta).

Suprafața delimitată de cercuri de diferite latitudini

Suprafața delimitată de cercuri de latitudini diferite este diferența dintre suprafețele celor două segmente sferice corespondente. Pentru o sferă cu raza r și latitudini φ 1 și φ 2 , această zonă este [6]

A=2\pi r^{2}|\sin \varphi _{1}-\sin \varphi _{2}|.

Aria unei suprafețe pătrate a suprafeței unei sfere

Un segment tăiat pe o sferă cu raza r de patru arce de cerc mari având aceeași lungime unghiulară θ și perpendiculară pe perechi (un pătrat sferic analog unui pătrat dintr-un plan) are arie

A=8r^{2}(1-\cos \theta /2).

Dacă unghiul θ este mic (comparativ cu 1 radian ), atunci egalitatea aproximativă este valabilă, pe baza aproximării la $\cos x\to 1-x^{2}/2$ $x\to 0:$

A\aprox 8r^{2}{\frac {\theta ^{2}}{8}}=r^{2}\theta ^{2}.

De exemplu, aria unei zone pătrate a suprafeței Pământului ( R ⊕ = 6378 km) cu laturile egale cu 1 grad este

A(1^{\circ })=8\cdot R_{\oplus }^{2}(1-\cos 0{,}5^{\circ })\aprox R_{\oplus }^{ 2}\cdot \left({\frac {\pi }{180}}\right)^{2}\aproximativ 12\,391\,{\text{km}}^{2}.

1 secundă pătrată a suprafeței Pământului are o suprafață de 3600 de 2 ori mai mică: A (1 ′′) ≈ 12 391 km 2 / (60 60) 2 ≈ 956 m 2 .

Generalizări

Secțiuni ale altor organe

Un segment sferoidal se obține prin tăierea unei părți a sferoidului în așa fel încât să aibă simetrie circulară (are axă de rotație). Un segment elipsoidal este definit într-un mod similar.

Segmentul hipersferei

Volumul unui segment -dimensional al unei hipersfere cu înălțime și rază în spațiul euclidian -dimensional este determinat de formula [7] $n$ $h$ $r$ $n$

V={\frac {\pi ^{\frac {n-1}{2}}\,r^{n}}{\,\Gamma \left({\frac {n+1}{2 }}\right)}}\int \limits _{0}^{\arccos \left({\frac {rh}{r}}\right)}\sin ^{n}t\,\mathrm {d} t,

unde ( funcția gamma ) este dată de $\Gamma$ $\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}\mathrm {e} ^{-t}\,\mathrm {d} t.$

Expresia pentru volum poate fi rescrisă în termeni de volum al bilei dimensionale unitare și a funcției hipergeometrice sau a funcției beta incomplete regularizate ca $V$ $n$ $C_{n}={\pi ^{n/2}/\Gamma \left[1+{\frac {n}{2}}\right]}$ ${}_{2}F_{1}$ $I_{x}(a,b)$

V=C_{n}\,r^{n}\left({\frac {1}{2}}\,-\,{\frac {rh}{r}}\,{\frac { \Gamma [1+{\frac {n}{2}}]}{{\sqrt {\pi }}\,\Gamma [{\frac {n+1}{2}}]}}{\,\ ,}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{2)),{\tfrac {1-n}{2));{\tfrac {3}{2));\left ({\tfrac {rh}{r}}\right)^{2}\right)\right)={\frac {1}{2}}C_{n}\,r^{n}I_{(2rh -h^{2})/r^{2}}\left({\frac {n+1}{2}},{\frac {1}{2}}\right).

Formula pentru suprafața poate fi scrisă în termeni de suprafață a unei bile unitare dimensionale ca $A$ $n$ $A_{n}={2\pi ^{n/2}/\Gamma \left[{\frac {n}{2}}\right]}$

A={\frac {1}{2}}A_{n}\,r^{n-1}I_{(2rh-h^{2})/r^{2}}\left({ \frac {n-1}{2)),{\frac {1}{2}}\dreapta),

Unde $0\leq h\leq r.$

Sunt valabile și următoarele formule [8] : unde $A=A_{n}p_{n-2}(q),\quad V=V_{n}p_{n}(q),$ $q=1-h/r(0\leq q\leq 1),\quad p_{n}(q)={\frac {1-G_{n}(q)/G_{n}(1 )}{2}},$

G_{n}(q)=\int \limits _{0}^{q}(1-t^{2})^{(n-1)/2}dt.

La $n=2k+1:$

G_{n}(q)=\sum _{i=0}^{k}(-1)^{i}{\binom {k}{i}}{\frac {q^{2i+ 1 }}{2i+1}}.

Sa arătat [9] că pentru și unde este distribuția normală standard . $n\la \infty$ $q{\sqrt {n}}={\text{const }}$ $p_{n}(q)\la 1-F({q{\sqrt {n}}}),$ $F()$

Literatură

A. I. Markushevici, A. Ya. Khinchin, P. S. Alexandrov. Concepte de bază ale geometriei sferice // Enciclopedia matematicii elementare. Cartea 4 - Geometrie . - Moscova: GIFML, 1963.

Note

↑ Encyclopedia of Elementary Mathematics, 1963 , p. 519-520.
↑ Polyanin AD, Manzhirov AV Manual de matematică pentru ingineri și oameni de știință (engleză) . - Chapman & Hall/CRC, 2007. - P. 69. - ISBN 9781584885023 . Arhivat pe 2 februarie 2017 la Wayback Machine
↑ Connolly ML Calculul volumului molecular // J. Am. Chim. soc. - 1985. - Vol. 107 . - P. 1118-1124 . - doi : 10.1021/ja00291a006 .
↑ Pavani R., Ranghino G. A method to compute the volume of a molecule // Calculează . Chim. - 1982. - Vol. 6 . - P. 133-135 . - doi : 10.1016/0097-8485(82)80006-5 .
↑ Bondi A. Van der Waals volume și raze // J. Phys . Chim.. - 1964. - Vol. 68 . - P. 441-451 . - doi : 10.1021/j100785a001 .
↑ Donaldson SE, Siegel SG Dezvoltare software de succes . - Ed. a II-a .. - Upper Saddle River: Prentice Hall, Inc., 2001. - P. 354. - ISBN 0-13-086826-4 .
↑ Li S. Concise Formulas for the Area and Volume of a Hyperspherical Cap // Asian J. Math. stat. - 2011. - Vol. 4 , nr. 1 . - P. 66-70 . - doi : 10.3923/ajms.2011.66.70 .
↑ Chudnov A. M. Despre algoritmii minimax pentru generarea și recepția semnalelor // Probl. transmiterea de informații - 1986. - T. 22 . - S. 49-54 . (Rusă)
↑ Chudnov A. M. Probleme teoretice de joc de sinteză a algoritmilor de generare și recepție de semnale // Probl. transmiterea de informații - 1991. - T. 27 . - S. 57-65 . (Rusă)