Convergență aproape peste tot
O succesiune de funcții converge aproape peste tot către o funcție limită dacă mulțimea de puncte pentru care nu există convergență are măsura zero [1] .
Definiție
Fie un spațiu cu măsură , și . Ei spun că converge aproape peste tot și scriu - a.e. dacă [1]



.
Terminologia probabilității
Dacă există un spațiu de probabilitate , și sunt variabile aleatoare astfel încât



,
apoi spunem că șirul converge aproape sigur către [2] .

Proprietăți de convergență a.e.
- Convergența punctual implică în mod evident convergența aproape peste tot.
- Lasă , unde , și converg aproape peste tot către . Să existe și o funcție astfel încât pentru toți și aproape toți (majorant însumabil ). Apoi , și în . Fără o presupunere a priori despre existența unei majorante integrabile, convergența aproape peste tot (și chiar peste tot) nu implică convergență în . De exemplu, o secvență de funcții converge la 0 aproape peste tot pe , dar nu converge spre .












![{\displaystyle n\chi _{[0,1/n]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e0d7ba1d4965037d84890fe238344e5dcd093bc)
![[0,1]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/738f7d23bb2d9642bab520020873cccbef49768d)
![{\displaystyle L^{1}[0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8d50b231f054c5144afd0bd5f0f3211310a9ba3)
- Convergența aproape peste tot implică convergență în măsură dacă măsura este finită. Pentru spații cu măsură infinită acest lucru nu este adevărat [3] .
Vezi și
Note
- ↑ 1 2 Dyachenko, Ulianov, 1998 , p. 55 §13. convergență aproape peste tot.
- ↑ Enciclopedia Matematică, 1985 , p. 313 Convergența este aproape sigură.
- ↑ Dyachenko, Ulianov, 1998 , p. 57 Teorema 13.2 (exemplul Riesz).
Literatură
- Dyachenko M. I., Ulyanov P. L. Măsura și integrala . - M . : „Factorial”, 1998.
- Enciclopedie matematică / I.M. Vinogradov. - 1985. - V. 5 (Variabilă aleatoare - Celulă).