Convergență aproape peste tot

O succesiune de funcții converge aproape peste tot către o funcție limită dacă mulțimea de puncte pentru care nu există convergență are măsura zero [1] .

Definiție

Fie un spațiu cu măsură , și . Ei spun că converge aproape peste tot și scriu - a.e. dacă [1] $(X,\mathcal{F},\mu)$ $f_{n},f:X\to \mathbb {R} ,\;n\in \mathbb {N}$ $\{f_{n}\}$ $f_{n}\la f$ $\mu$

\mu \left(\{x\in X\mid \lim \limits _{n\to \infty }f_{n}(x)\not =f(x)\}\right)=0

Terminologia probabilității

Dacă există un spațiu de probabilitate , și sunt variabile aleatoare astfel încât $(X,{\mathcal {F)),\mu )=(\Omega,{\mathcal {F)),\mathbb {P} )$ $Y_{n},Y$

\mathbb {P} \left(\{\omega \in \Omega \mid \lim \limits _{n\to \infty }Y_{n}(\omega )=Y(\omega)\}\ dreapta)=1

apoi spunem că șirul converge aproape sigur către [2] . $\{Y_{n}\}$ $Y$

Proprietăți de convergență a.e.

Convergența punctual implică în mod evident convergența aproape peste tot.
Lasă , unde , și converg aproape peste tot către . Să existe și o funcție astfel încât pentru toți și aproape toți (majorant însumabil ). Apoi , și în . Fără o presupunere a priori despre existența unei majorante integrabile, convergența aproape peste tot (și chiar peste tot) nu implică convergență în . De exemplu, o secvență de funcții converge la 0 aproape peste tot pe , dar nu converge spre . $f_{n}\in L^{p}(X,{\mathcal {F)),\mu )\;\forall n\in \mathbb {N}$ $1\leq p<\infty$ $\{f_{n}\}$ $f$ $g\in L^{p}(X,{\mathcal {F)),\mu )$ $|f_{n}(x)|\leq |g(x)|$ $n$ $x\în X$ $f\in L^{p}(X,{\mathcal {F)),\mu )$ $f_{n}\la f$ $L^{p}$ $L^{p}$ $n\chi _{[0,1/n]}$ $[0,1]$ $L^{1}[0,1]$
Convergența aproape peste tot implică convergență în măsură dacă măsura este finită. Pentru spații cu măsură infinită acest lucru nu este adevărat [3] .

Vezi și

Aproape peste tot

Note

↑ 1 2 Dyachenko, Ulianov, 1998 , p. 55 §13. convergență aproape peste tot.
↑ Enciclopedia Matematică, 1985 , p. 313 Convergența este aproape sigură.
↑ Dyachenko, Ulianov, 1998 , p. 57 Teorema 13.2 (exemplul Riesz).

Literatură

Dyachenko M. I., Ulyanov P. L. Măsura și integrala . - M . : „Factorial”, 1998.
Enciclopedie matematică / I.M. Vinogradov. - 1985. - V. 5 (Variabilă aleatoare - Celulă).