Convergenta punctuala

În matematică , convergența punctual a unei secvențe de funcții pe o mulțime este un tip de convergență în care fiecare punct al mulțimii date este asociat cu limita șirului de valori ale elementelor secvenței în același punct.

O funcție definită în acest fel se numește funcție limită a secvenței date sau limita punctual a acesteia și se spune că secvența dată converge punctual către funcția limită.

O formă mai puternică de convergență este convergența uniformă : dacă o secvență funcțională converge uniform , atunci această secvență converge și punctual , dar nu invers. Pentru ca limita punctual a unei secvențe de funcții să fie uniformă, trebuie îndeplinit criteriul Cauchy .

Noțiunea de convergență punctuală se transferă în mod natural la familiile funcționale și la serii funcționale .

Definiție

Fie o succesiune de funcții de forma ( ) unde este domeniul de definiție comun pentru toate funcțiile familiei. $\{f_{{n}}\}_{{n=1}}^{{\infty }}$ $f_{n}\colon X\la {\mathbb {R}}$ $n=1,2,\puncte$ $X$

Fixați un punct și luați în considerare o succesiune numerică de forma . $x\în X$ $\{f_{{n}}(x)\}_{{n=1}}^{{\infty }}$

Dacă această secvență are o limită (finită), atunci un punct poate fi asociat cu limita acestei secvențe, notându-l : $X$ $f(x)$

f(x):=\lim _{{n\to \infty }}f_{n}(x)

Dacă luăm în considerare toate punctele mulțimii la care există limita specificată, atunci putem defini funcția . $E\subset X$ $f\colon E\la {\mathbb {R}}$

Funcția definită în acest fel se numește limita punctual a succesiunii de funcții ale familiei pe mulțime : $\{f_{{n}}\}_{{n=1}}^{{\infty }}$ $E$

f_{n}\la f\quad \{E\}\Leftrightarrow \left(\forall x\in E\quad f_{n}(x)\la f(x)\quad n\la \infty \right)

în timp ce familia însăși se spune că converge punctual către o funcție de pe platou . $\{f_{{n}}\}_{{n=1}}^{{\infty }}$ $f$ $E$

Proprietăți

Conceptul de convergență punctual contrastează în anumite privințe cu noțiunea de convergență uniformă . Specific,

\lim _{{n\rightarrow \infty }}f_{n}=f

uniform

este echivalent cu

\lim _{{n\rightarrow \infty }}\sup\{\,\left|f_{n}(x)-f(x)\right|:x\in D\}=0.

Această afirmație este mai puternică decât afirmația de convergență punctuală: fiecare secvență funcțională convergentă uniform converge punctual către aceeași funcție limită, dar inversul nu este adevărat în general. De exemplu,

\lim _{{n\rightarrow \infty }}x^{n}=0

punctual pe intervalul [0,1), dar nu uniform pe intervalul [0,1).

Limita punctual a unei secvențe de funcții continue poate să nu fie o funcție continuă, ci numai dacă convergența nu este uniformă în același timp. De exemplu, funcția

f(x)=\lim _{{n\rightarrow \infty }}\cos(\pi x)^{{2n}}

ia valoarea 1 dacă x este un întreg și 0 dacă x nu este un întreg și, prin urmare, nu este continuu pentru numere întregi.

Valorile funcției f n nu trebuie să fie reale, dar pot aparține oricărui spațiu topologic, astfel încât conceptul de convergență punctual să aibă sens. Pe de altă parte, convergența uniformă nu are sens în general pentru funcțiile care iau valori în spații topologice, dar are sens în cazul particular când spațiul topologic este echipat cu metrica .

Topologie

Convergența punctuală este aceeași cu convergența în topologia unui produs pe spațiul Y X . Dacă Y este compact , atunci, după teorema lui Tihonov , spațiul Y X este de asemenea compact.

În teoria măsurării

În teoria măsurării, este introdus conceptul de convergență aproape peste tot al unei secvențe de funcții măsurabile definite pe un spațiu măsurabil , ceea ce înseamnă convergență aproape peste tot . Teorema lui Egorov afirmă că convergența punctuală aproape peste tot pe o mulțime de măsură finită implică o convergență uniformă pe o mulțime doar puțin mai mică.

Convergenta punctuala

Definiție

Proprietăți

Topologie

În teoria măsurării

Vezi și