Forma cu valori tangente
Formele cu valori tangente sunt o generalizare a formelor diferențiale , în care setul de valori al formei este pachetul tangent la varietate .
Definiție
O formă cu valoare tangentă pe o varietate este o secțiune a produsului tensor al puterilor tangente și exterioare ale fasciculelor cotangente la varietate:
Operațiuni
- Diferențierea internă
- Diferențierea externă
Lie derivat
Un caz special de forme cu valori tangențial sunt câmpurile vectoriale . Derivata Lie a unui câmp tensor în raport cu un câmp vectorial este definită în modul standard:
unde este fluxul de fază corespunzător câmpului vectorial . Această operație este legată de multiplicarea internă a unei forme diferențiale cu un câmp vectorial și diferențierea externă prin formula de homotopie :
acesta este
![{\displaystyle L_{X}=[\imath _{X},d]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/407fedff8778171516c1002ccaa2e854d3349c0d)
unde este comutatorul în algebra gradată a derivațiilor formelor cu valori tangențial. Pentru o formă arbitrară cu valori tangenţiale , derivata Lie este definită prin analogie:
Proprietăți![[\cdot ,\cdot]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28dd4c22d60192519c1c12cf645b040f368db9e9)
![{\displaystyle L_{K}=[\imath _{K},d]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3f273204bfa118e369086c85b3d7b23da5313f9)
![{\displaystyle [L_{K},d]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce918fcbb7cf56bf8595dd8f6bc5cbbe7b4167b2)
Paranteză Frölicher-Nijenhuis
Paranteza Frölicher-Nijenhuis a două forme cu valori tangențial și este definită ca o astfel de formă unică cu valoare tangențială pentru care
![{\displaystyle [K,F]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3bb154345346746d75727a1e6bcc0a81a138856)
![{\displaystyle [L_{K},L_{F}]=L([K,F])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d873bbb74d043572252b5bb59ab2f81c298e8e9)
Această operație este clasificată anticomutativă și satisface identitatea Jacobi gradată . Dacă percepem o structură aproape complexă ca o formă 1 tangentă, tensorul său Nijenhuis (un tensor care împiedică căutarea hărților locale complexe) este exprimat prin paranteza Frölicher-Nijenhuis ca . [1] Condiția de „integrabilitate” a unei anumite structuri ca dispariția unora dintre parantezele sale cu ea însăși este comună: de exemplu, condiția de asociativitate a unei algebre poate fi definită ca dispariția parantezei Gerstenhaber în spațiul codiferenterilor. a unei coalgebre libere generate de spațiul vectorial subiacent al algebrei , plasată în gradul 1 (înmulțirile biliare sunt aceleași cu codificarea de gradare 1) [2] .
![{\displaystyle [I,I]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a0ed0802a46f94834a2074b4131f1e4744253ba)
Paranteză Nijenhuis-Richardson
Paranteza Nijenhuis-Richardson (paranteze algebrice) a două forme evaluate tangențial și este definită ca singura formă evaluată tangențial pentru care
![{\displaystyle [\cdot ,\cdot ]^{\wedge }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03eab976fbfedc37e39a9b3bd94ef078b3a6998c)
![{\displaystyle [K,F]^{\wedge }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6aad740f459fa6f9fb8326505bc450443e4f82f)
![{\displaystyle [\imath _{K},\imath _{F}]=\imath ([K,F]^{\wedge })}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a4929659805d0900b1ae2a1923539797dc948f4)
Această operație este clasificată anticomutativă și satisface identitatea Jacobi gradată . Formă explicită pentru paranteze a două forme :
![{\displaystyle [K,F]^{\wedge}=\imath _{k}F-(-1)^{kf}\imath _{F}K}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c249d4fa65aa6af46525ad015c08b7b135ed9a9a)
Definiții înrudite
O formă se numește lipire dacă se află în .
Note
- ↑ Zeci de definiții ale tensorului Nijenhuis al unei structuri aproape complexe . . Data accesului: 31 ianuarie 2016. Arhivat din original pe 26 martie 2015.
- ↑ Homological methods in Non-commutative Geometry, Lectura 8. Arhivat 24 martie 2017 la Wayback Machine , Lema 8.2
Literatură
- GA Sardanashvili Metode moderne ale teoriei câmpului. Vol. 1: Geometrie și domenii clasice, - M. : URSS, 1996. - 224 p.
- Ivan Kolář, Peter W. Michor, Jan Slovák Operații naturale în geometrie diferențială , - Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, 1993. - ISBN 3-540-56235-4 , ISBN 0-387-56235-4 .