Identitatea Jacobi
Identitatea Jacobi este o identitate matematică pentru o operație biliniară pe un spațiu liniar . Are următoarea formă:
![{\displaystyle [\cdot ,\cdot ]\colon V\times V\rightarrow V}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f4446c9272ec2703bfe4bbd3ba41c037963e7e4)
![{\displaystyle \forall \,x,y,z\în V\colon [[x,y],z]+[[y,z],x]+[[z,x],y]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fb8920707b85494eb03da6871bec5571cff6735)
Numit după Carl Gustav Jacobi .
Noțiunea de identitate Jacobi este asociată în mod obișnuit cu algebrele Lie .
Exemple
Următoarele operații satisfac identitatea Jacobi:
- Comutator operator
- comutator în algebra Lie
- Se află paranteze ale câmpurilor vectoriale
- Paranteze Poisson de funcții pe o varietate simplectică
- Produsul încrucișat al vectorilor
Semnificația în algebrele Lie
Dacă înmulțirea este anticomutativă , atunci identității Jacobi i se poate da o formă ușor diferită folosind reprezentarea adjunctă a algebrei Lie :
![[\cdot ,\cdot]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28dd4c22d60192519c1c12cf645b040f368db9e9)
![{\displaystyle \mathrm {ad} _{x}\colon y\mapsto [x,y]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17a83dfae0bc4af7168c95b97f8a08b393240b15)
Scrierea identității Jacobi în formă
![{\displaystyle [x,[y,z]]=[y,[x,z]]+[[x,y],z]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db1d62c71fd1a76785dae82442e4ef59d942e21d)
obținem că este echivalentă cu condiția de îndeplinire a regulii Leibniz pentru operator :
![{\displaystyle \mathrm {ad} _{x}\,[y,z]=[\mathrm {ad} _{x}\,y,z]+[y,\mathrm {ad} _{x}\ ,z]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/199849564813f5f6c0799e3e713c96f0e8a91fbc)
Astfel, este o derivație în algebra Lie. Orice astfel de derivație se numește intrinsecă .
Identității Jacobi i se poate da și forma
![{\displaystyle \mathrm {ad} _{[x,y]}=[\mathrm {ad} _{x},\mathrm {ad} _{y}]=\mathrm {ad} _{x}\mathrm {ad} _{y}-\mathrm {ad} _{y}\mathrm {ad} _{x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9745ac751109b24010afa01d69a8ca5d2e467a09)
Aceasta înseamnă că operatorul definește un homomorfism al unei algebre Lie date în algebra Lie a derivărilor sale.
Identitate Jacobi gradată
Să fie o algebră gradată și să fie o înmulțire în ea. Spunem că înmulțirea în satisface identitatea Jacobi gradată dacă pentru orice elemente
![{\displaystyle [\omega _{m},[\omega _{k},\omega _{l}]=[[\omega _{m},\omega _{k}],\omega _{l} ]+(-1)^{mk}[\omega _{k},[\omega _{m},\omega _{l}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a325f6e7ec5c033017c3b8c8716d1cb922e9151b)
Exemple
- algebra formelor externe ;
- algebra derivaţiilor formelor diferenţiale ;
- algebra formelor cu valori tangențial cu înmulțirea dată prin FN -paranteze sau NR -paranteze;