Teorema lui Bloch

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 2 aprilie 2021; verificările necesită 3 modificări .

Teorema lui Bloch este o teoremă importantă a fizicii stării solide , care stabilește forma funcției de undă a unei particule într-un potențial periodic. Numit după fizicianul elvețian Felix Bloch . În cazul unidimensional, această teoremă este adesea numită teorema Floquet. Formulat în 1928.

Formulare

Formulare strictă

Stări proprii ale Hamiltonianului cu un electron

{\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+U(\mathbf {r})\,,

unde potențialul U ( r ) este periodic peste toți vectorii R ai rețelei Bravais, poate fi ales astfel încât funcțiile lor de undă să aibă forma unei undă plană înmulțită cu o funcție care are aceeași periodicitate ca și rețeaua Bravais:

\psi _{n\mathbf {k} }=e^{i\mathbf {kr} }u_{n\mathbf {k} }(\mathbf {r})\,,

Unde

u_{n\mathbf {k} }(\mathbf {r} +\mathbf {R} )=u_{n\mathbf {k} }(\mathbf {r} )

pentru toţi R aparţinând reţelei Bravais . Indicele n se numește numărul zonei. Apariția sa se datorează faptului că pentru un vector de undă de particule fix arbitrar k , sistemul poate avea multe stări proprii independente.

Funcțiile de undă electronice sub formă se numesc funcții Bloch . Dar este important de înțeles că, spre deosebire de funcțiile Bloch, amplitudinile nu sunt funcții periodice, deoarece termenul descrie o undă plană . $u_{n\mathbf {k} }(\mathbf {r} )=u_{n\mathbf {k} }(\mathbf {r} +\mathbf {R} )$ $\psi _{n{\textbf {k}}}=e^{i{\textbf {k}}{\textbf {r}}}u_{n{\textbf {k}}}({\ textbf{r)))$ $e^{i{\textbf {k}}{\textbf {r}}}$

Precizări la formulare

Teorema consideră un cristal infinit ideal. Aceasta înseamnă că nu are defecte și are simetrie de translație. În construcția ulterioară a teoriei, încălcările periodicității rețelei sunt de obicei considerate mici perturbări. În plus, într-un cristal real, electronii interacționează între ei, ceea ce ar trebui să fie reflectat în Hamiltonianul sistemului prin adăugarea termenului corespunzător. În formularea teoremei, totuși, se folosește aproximarea electronilor care nu interacționează, ceea ce face posibilă luarea în considerare a unui hamiltonian cu o particulă.

Dovada

Notăm cu T R operatorul de translație a unei funcții arbitrare pe vectorul R . Datorită periodicității hamiltonianului, avem:

{\hat {T}}_{\mathbf {R} }{\hat {H}}\psi ={\hat {H}}(\mathbf {r} +\mathbf {R} )\psi (\mathbf {r} +\mathbf {R} )={\hat {H}}(\mathbf {r} )\psi (\mathbf {r} +\mathbf {R} )={\hat {H} }{\hat {T}}_{\mathbf {R} }\psi .

Astfel, operatorul de translație pe un vector arbitrar al rețelei Bravais comută cu Hamiltonianul sistemului. În plus, operatorii de translație la doi vectori arbitrar fac naveta unul cu celălalt:

{\hat {T}}_{\mathbf {R} }{\hat {T}}_{\mathbf {R'} }\psi (\mathbf {r} )={\hat {T} }_{\mathbf {R'} }{\hat {T}}_{\mathbf {R} }\psi (\mathbf {r} )=\psi (\mathbf {r} +\mathbf {R} + \mathbf {R'} )={\hat {T}}_{\mathbf {R} +\mathbf {R'} }\psi (\mathbf {r}).

Din teorema fundamentală a mecanicii cuantice rezultă că în acest caz stările Hamiltonianului H pot fi alese în așa fel încât să fie în același timp stări proprii ale tuturor operatorilor T R :

{\hat {H}}\psi =E\psi ,

{\hat {T}}_{\mathbf {R} }\psi =c(\mathbf {R} )\psi .

Valorile proprii c ( R ) sunt legate prin relația c ( R ) c ( R' )= c ( R + R' ), deoarece, pe de o parte:

{\hat {T}}_{\mathbf {R} }{\hat {T}}_{\mathbf {R'} }\psi (\mathbf {r} )=c(\mathbf {R } ){\hat {T))_{\mathbf {R'} }\psi (\mathbf {r} )=c(\mathbf {R} )c(\mathbf {R'} )\psi ,

cu altul:

{\hat {T}}_{\mathbf {R} }{\hat {T}}_{\mathbf {R'} }\psi ={\hat {T}}_{\mathbf {R } +\mathbf {R'} }\psi =c(\mathbf {R} +\mathbf {R'} )\psi .

Fie a i cei trei vectori principali ai rețelei Bravais. Putem reprezenta întotdeauna c ( a i ) ca

c(\mathbf {a} _{i})=e^{2\pi \mathbf {i} \mathbf {x} _{i)).

Pentru un vector arbitrar R = n 1 a 1 + n 2 a 2 + n 3 a 3 , egalitatea este adevărată:

c(\mathbf {R} )=c(\mathbf {a} _{1})^{n_{1}}*c(\mathbf {a} _{2})^{n_{2} }*c(\mathbf {a} _{3})^{n_{3}},

echivalent cu egalitatea , unde b i sunt vectori rețelei reciproci care satisfac relația $c(\mathbf {R} )=e^{i\mathbf {k} \mathbf {R} }$ $\mathbf {k} =x_{1}\mathbf {b} _{1}+x_{2}\mathbf {b} _{2}+x_{3}\mathbf {b} _{3} \,,$

\mathbf {b} _{i}\mathbf {a} _{j}=2\pi \delta _{ij}.

Astfel, valorile proprii ψ ale Hamiltonianului H pot fi alese în așa fel încât pentru fiecare vector R al rețelei Bravais egalitatea să fie valabilă:

{\hat {T))_{\mathbf {R} }\psi (\mathbf {r} )=\psi (\mathbf {r} +\mathbf {R} )=c(\mathbf {R} } } )\psi (\mathbf {r} )=e^{i\mathbf {k} \mathbf {R} }\psi (\mathbf {r}),

care corespunde exact afirmaţiei teoremei.

Vezi și

Literatură

N. Ashcroft, N. Mermin. Fizica stării solide. Volumul 1. Capitolul 8.