Particulă într-un potențial periodic

În mecanica cuantică , problema unei particule într-un potențial periodic unidimensional este o problemă idealizată care poate fi rezolvată exact (pentru anumite potențiale speciale), fără simplificări. Se presupune că potențialul este dat pe întreg spațiul infinit și este periodic, adică are simetrie translațională , ceea ce, în general, nu este valabil pentru cristalele reale , unde există întotdeauna cel puțin un defect - suprafața (aceasta duce la o altă problemă despre stările de suprafață sau nivelurile Tamm ).

Vedere generală a spectrului

Problemă periodică

Luați în considerare o rețea unidimensională de ioni, distanța dintre care este . Potențialul va fi apoi periodic. Luați în considerare mai întâi cazul idealizat al unui cristal infinit. Ecuația Schrödinger are forma: $A$

-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}\psi (x)}{\partial x^{2}}}+V_{a}(x) \psi(x)=E\psi(x)

cu un potențial periodic Spectrul este definit ca mulțimea acelor energii la care ecuația are soluții mărginite (nu tind spre zero sau infinit) pe întreaga axă reală. Ecuația Schrödinger este de ordinul doi, deci spațiul soluției este bidimensional. Fie soluții liniar independente ale ecuației. Apoi, atunci când sunt deplasate cu o perioadă, din cauza periodicității problemei, ele sunt transformate unul prin celălalt: $V_{a}(x)=V_{a}(x+a).$ $\psi_{{1,2}}$

\left({\begin{matrice}\psi _{1}(x+a)\\\psi _{2}(x+a)\end{matrice}}\right)={\mathrm {T}} \left({\begin{matrice}\psi _{1}(x)\\\psi _{2}(x)\end{matrice}}\right)

unde este o matrice ( matrice de monodromie ). Luând în considerare Wronskianul , este ușor să arătăm asta și este unitar . Aceasta înseamnă că, într-o anumită bază, are forma $\mathrm{T}$ $\mathrm{T}$ $\det {\mathrm {T}}=1$

\mathrm {T} =\left({\begin{matrix}e^{\mathrm {i} ka}&0\\0&e^{-\mathrm {i} ka}\end{mathrm}}\right )

Aceasta implică teorema lui Bloch : funcțiile proprii corespunzătoare sunt de forma

\psi _{{1,2}}(x)=e^{({\mathrm {i}}kx}}\phi _{{1,2}}(x),

unde sunt funcțiile periodice. Rețineți că deocamdată . Evident, spectrul corespunde cu , ceea ce este echivalent (ținând cont de unitaritate) cu condiția de pe urma matricei de monodromie $\phi _{{1,2}}(x)$ $k\in \mathbb {C}$ $k\in \mathbb{R}$

{\mathrm {Tr}}\ {\mathrm {T}}=2\cos(kx)\in [-2;2]

Este ușor să arăți că există o funcție lină. Aceasta implică structura de bandă a spectrului : pentru o particulă într-un potențial periodic, nivelurile de energie admisibile sunt câteva, de obicei infinite, set de segmente pe axa reală. Pentru un potențial de formă generală, spectrul nu are puncte izolate; cu o mică perturbare a potențialului, acestea fie dispar, fie se transformă în zone de lățime mică. Rețineți că segmentele extreme ale spectrului pot fi, în principiu, nelimitate, în timp ce toate nivelurile de energie, începând de la unul anume, sunt admisibile, iar numărul total de zone este finit (vezi integrarea decalajului finit ). Într-o astfel de formulare, problema admite o soluție completă și simplă în funcțiile theta . ${\mathrm {Tr}}({\mathrm {T}})(E)$

k se numește cvasi -impuls , prin analogie cu funcția de undă pentru o particulă cu un anumit impuls k . După cum puteți vedea, întreaga funcție de undă este determinată de valoarea lui k și de orice secțiune a funcției de lungime a . $e^{{{\mathrm {i}}kx}}$

În mod similar, există benzi de energie în rețele de dimensiuni mai mari.

Influența granițelor

Într-un cristal real, numărul de stări admisibile este foarte mare. Constrângerea suplimentară rezultată asupra mărimii cvasi-impulsului apare din condițiile la limită ale funcției de undă de pe suprafața cristalului. În acest caz, în locul zonelor continue, apar regiuni cu niveluri de energie discrete dens distanțate ( zone permise ) și regiuni în care nu există deloc stări ( zone interzise ). Să estimăm distanța dintre nivelurile de energie din zonele permise.

În loc să luăm în considerare nivelurile de energie admisibile (care ar necesita informații suplimentare, cum ar fi relația de dispersie și structura exactă a cristalului), să luăm în considerare valorile admisibile ale cvasi-momentului. Când se ia în considerare un cristal izolat, sunt de obicei luate în considerare condițiile la limită periodice ale funcției de undă. Această ipoteză este justificată, deoarece condițiile exacte la limită dintr-un cristal real constau în dispariția funcției de undă a electronilor la limita sa. Pentru un cristal unidimensional, aceasta înseamnă că funcția de undă este uniformă (0 este în centrul cristalului). Dacă influența limitelor asupra funcției de undă este mică, atunci aproximativ se poate uita de valoarea exactă a funcției de undă la graniță, păstrând doar proprietatea de simetrie - paritatea.

Luați în considerare un cristal unidimensional de lungime . Condiția la limită are forma $L$

\psi (0)=\psi (L)

Având în vedere teorema lui Bloch, rezultă că

kL=2\pi n,\;n\in \mathbb{Z }

Astfel, distanța dintre valorile admisibile adiacente ale cvasi-impulsului este egală cu

\Delta k={\frac {2\pi n}{L}}

În mod similar, în cazul general, pentru o rețea cubică:

\Delta k_{{x,y,z}}={\frac {2\pi n}{L_{{x,y,z}}}}

Modelul Kronig-Penny

Pentru a simplifica problema, potențialul este aproximat cu unul dreptunghiular: folosind teorema lui Bloch . Ei găsesc funcția de undă în întreg spațiul, dar mai întâi studiază soluția pentru o perioadă și o fac netedă la margini, adică „cosă” valorile funcțiilor învecinate și derivatele lor. Luați în considerare o perioadă a potențialului [1] :
Avem două zone independente pentru care vom găsi soluții:

0<x<ab:{-\hbar ^{2} \over 2m}\psi _{xx}=E\psi \Rightarrow \psi =Ae^{i\alpha x}+A'e^{ -i\alpha x}\quad \left(\alpha ^{2}={2mE \over \hbar ^{2}}\right)

-b<x<0:{-\hbar ^{2} \over 2m}\psi _{xx}=(E+V_{0})\psi \Rightarrow \psi =Be^{i\beta x}+B'e^{-i\beta x}\quad \left(\beta ^{2}={2m(E+V_{0}) \over \hbar ^{2}}\right)

Pentru a găsi u ( x ) în fiecare zonă, trebuie să faceți următoarele transformări:

\psi (0<x<ab)=Ae^{{i\alpha x}}+A'e^{{-i\alpha x}}=e^{{ikx}}\cdot \left(Ae^{ {i(\alpha -k)x}}+A'e^{{-i(\alpha +k)x}}\dreapta)

\Rightarrow u(0<x<ab)=Ae^{{i(\alpha -k)x}}+A'e^{{-i(\alpha +k)x}}

În mod similar, obținem

u(-b<x<0)=Be^{{i(\beta -k)x}}+B'e^{{-i(\beta +k)x}}\;

Pentru a găsi soluția completă, trebuie să ne asigurăm că funcția dorită este netedă la granițe:

\psi (0^{{-}})=\psi (0^{{+}})\quad \psi '(0^{{-}})=\psi '(0^{{+}})

și periodicitățile u ( x ) și u' ( x )

u(-b)=u(ab)\quad u'(-b)=u'(ab).

Aceste condiții dau următoarea matrice:

{\begin{pmatrix}1&1&-1&-1\\\alpha &-\alpha &-\beta &\beta \\e^{i(\alpha -k)(ab)}&e^{-i (\alpha +k)(ab)}&-e^{-i(\beta -k)b}&-e^{i(\beta +k)b}\\(\alpha -k)e^{ i(\alpha -k)(ab)}&-(\alpha +k)e^{-i(\alpha +k)(ab)}&-(\beta -k)e^{-i(\beta -k)b}&(\beta +k)e^{i(\beta +k)b}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A\\A'\\B\\B'\end {pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\end{pmatrix}}

Pentru ca o soluție netrivială să existe, determinantul acestei matrice trebuie să fie zero. După câteva transformări obținem:

\cos(ka)=\cos(\beta b)\cos[\alpha (ab)]-{\alpha ^{2}+\beta ^{2} \over 2\alpha \beta }\sin(\beta b)\sin[\alpha (ab)].\qquad (*)

Pentru o simplificare suplimentară, vom efectua următoarele transformări, al căror sens este tranziția la potențiale de tip delta ( pieptene Dirac ):

b\rightarrow 0\ ;\ V_{0}\rightarrow \infty \ ;\ V_{0}b={\mathrm {constant))

\Rightarrow \beta b\rightarrow 0\ ;\ \beta ^{2}b={\mathrm {constant))\ ;\ \alpha ^{2}b\rightarrow 0\ ;\ \sin(\beta b)\ rightarrow \beta b\ ;\ \cos(\beta b)\rightarrow 1

Atunci răspunsul final va fi:

\cos(ka)=\cos(\alpha a)-P{\sin(\alpha a) \over \alpha a}\qquad \left(P={\beta ^{2}ab \over 2}\right )

Cod program

Cod pentru Maple

Următorul cod este scris în Maple (9.5). Este doar o soluție grafică . $(*)$

repornire; cu(parcele): cu(stats[statplots]): eq:=cos(k*a)=cos(beta*b)*cos(alpha*(ab)) - (alpha^2+beta^2)/(2*alpha*beta)*sin(beta*b) *sin(alfa*(ab)); alpha:=sqrt(8*Pi^2*m*(E)*e/h^2): beta:=sqrt(8*Pi^2*m*(E+V)*e/h^2): e:=1,6*1e-19: a:=0,54310*1e-9: m:=0,19*9,1*1e-31: b:=1/5*a: h:=6,6*1e-34: k(E,V):=arccos(rhs(evalf(eq)))/a; #Programa p:=plot({subs(V=10,k(E,V)),subs(V=10,-k(E,V))},E=-5..50,etichete=[ka, E ],culoare=albastru): xyexchange(p); #Animație, în funcție de adâncimea gropii p:=animate( plot, [{k(E,V),-k(E,V)},E=-10..50, culoare=albastru,etichete=[ka, E]], V=0. .treizeci ): xyexchange(p);

Figurile prezintă soluții grafice ale ecuației ( * ).

Figura din dreapta arată cum, la o anumită valoare a energiei potențiale, este posibilă formarea unui semiconductor unidimensional fără întrerupere .

Cod pentru Scilab

Codul de mai jos este de fapt o traducere a programului anterior în Scilab , cu excepția faptului că ilustrează și cazul de a merge la pieptene Dirac.

șterge totul global Pi e a m b h Pi = 3,1415926 ; pas = 0,1 ; e = 1,6 * 1e-19 ; a = 0,54310 * 1e-9 ; m = 0,19 * 9,1 * 1e-31 ; b = 1 / 5 * a ; h = 6,6 * 1e-34 ; funcția [alfa, beta] = ab ( V, E ) alfa = sqrt ( 8 * Pi ^ 2 * m * ( E ) * e / h ^ 2 ); beta = sqrt ( 8 * Pi ^ 2 * m * ( E + V ) * e / h ^ 2 ); funcția finală funcția r=kronigpenney(V, E) [ alfa , beta ] = ab ( V , E ); r = 1 / a * acos (( cos ( beta * b ) .* cos ( alfa * ( a - b )) ) - ( alfa .^ 2 + beta .^ 2 ) ./ ( 2 * alfa .* beta ) .* sin ( beta * b ) .* sin ( alfa * ( a - b ))); funcția finală funcția r=dirac(V,E) [ alfa , beta ] = ab ( V , E ); r = 1 / a * acos ( cos ( alpha * a ) - ( beta .^ 2 * b * a ) ./ 2 .* sin ( alpha * a ) ./ ( alpha * a )); funcția finală E = [ 1e-3 : pas : 50 ]; k = kronigpenney ( 10 , E ); plot ( k , E , 'b' ); plot ( -k , E , ' b' ); k = dirac ( 10 , E ); plot ( k , E , 'r' ); plot ( - k , E , 'r' );

Cod pentru Matlab

Codul de mai jos este o traducere Matlab a programului anterior .

funcția KronigPenneyM % curata tot % global Pi eambh Pi = 3,1415926 ; pas = 0,1 ; e = 1,6 * 1e-19 ; a = 0,54310 * 1e-9 ; m = 0,19 * 9,1 * 1e-31 ; b = 1 / 5 * a ; h = 6,6 * 1e-34 ; E = [ 0 : pas : 50 ]; N = 3 ; ține - te ; k = kronigpenney ( N , E ); plot ([ real ( k ) NaN , - real ( k )], [ E NaN E ], 'b' ); k = dirac ( N , E ); plot ([ real ( k ) NaN , - real ( k )], [ E NaN E ], 'r' ); funcția [alfa, beta] = ab ( V, E ) alfa = sqrt ( 8 * Pi ^ 2 * m * ( E ) * e / h ^ 2 ); beta = sqrt ( 8 * Pi ^ 2 * m * ( E + V ) * e / h ^ 2 ); Sfârşit funcția r = kronigpenney ( V, E ) [ alfa , beta ] = ab ( V , E ); r = 1 / a * acos (( cos ( beta * b ) .* cos ( alfa * ( a - b )) ) - ( alfa .^ 2 + beta .^ 2 ) / ( 2 * alfa .* beta ) . * sin ( beta * b ) .* sin ( alfa * ( a - b ))); Sfârşit funcția r = dirac ( V,E ) [ alfa , beta ] = ab ( V , E ); r = 1 / a * acos ( cos ( alpha * a ) - ( beta .^ 2 * b * a ) / 2 .* sin ( alpha * a ) / ( alpha * a )); Sfârşit Sfârşit

Link -uri

Probleme de mecanică cuantică. Partea 1. Galitsky, Karnakov, Kogan.
Applet potențial periodic 1-D

Note

↑ R. de L. Kronig și W. G. Penney. Mecanica cuantică a electronilor din rețelele cristaline // Proc. R. Soc. Lond. A. - 1931. - T. 130 . - S. 499-513 . - doi : 10.1098/rspa.1931.0019 .

Vezi și

Modele de mecanică cuantică
Unidimensional fără spin	particule libere Groapă cu pereți nesfârșiti Puț cuantic dreptunghiular potenţial delta Puțul cuantic triunghiular Oscilator armonic Potențială piatră de treaptă Pöschl-Teller potenţial bine Potenţialul Pöschl-Teller modificat bine Particulă într-un potențial periodic Dirac potențial pieptene Particulă în inel
Multidimensional fără spin	oscilator circular Ionul moleculei de hidrogen Top simetric Potențiale simetrice sferic Potențial păduri-saxon problema lui Kepler Potenţialul Yukawa Potențial Morse Hulthen potențial Potenţialul molecular al lui Kratzer Potenţial exponenţial
Inclusiv spin	atom de hidrogen Ion hidrură atom de heliu

Metode de calcul al structurii electronice
Teoria legăturilor de valență	Hibridarea orbitalilor Teoria rezonanței Legătură cu doi electroni în trei centre legătură dublă triplă legătură
Teoria orbitalilor moleculari	Metoda combinațiilor liniare ale orbitalilor atomici Metoda Hartree-Fock Metoda clusterului legat Metoda Monte Carlo cuantică
Teoria zonei	metoda kp metoda pseudopotenţialului Aproximarea electronilor puternic legați Aproximarea electronilor aproape liberi Metoda undei plane mărite Metoda funcției lui Green Teoria funcțională a densității potenţial MT