Teorema Bolzano-Weierstrass

Teorema Bolzano-Weierstrass , sau lema punctului limită Bolzano-Weierstrass , este o propunere de analiză , una dintre formulările căreia spune: din orice succesiune limitată de puncte din spațiu , se poate distinge o subsecvență convergentă. Teorema Bolzano-Weierstrass, în special în cazul unei secvențe numerice ( ), este inclusă în fiecare curs de analiză. Este folosit în demonstrarea multor propuneri de analiză, de exemplu, teorema privind atingerea unei funcții continue pe un segment prin cele mai bune limite superioare și inferioare . Teorema poartă numele matematicianului ceh Bolzano și ale matematicianului german Weierstrass , care au formulat-o și au demonstrat-o în mod independent. $\mathbb {R} ^{n}$ $n=1$

Formulări

Sunt cunoscute mai multe formulări ale teoremei Bolzano-Weierstrass.

Prima formulare

Să fie propusă o succesiune de puncte din spațiu $\mathbb {R} ^{n}$ :

x_1, x_2, \ldots

și să fie mărginită această secvență , adică

\| x_k \| \leqslant C, \; k = 1, 2, \ldots

unde este un număr. $C > 0$

Apoi din această secvență putem selecta o subsecvență

x_{k_1}, x_{k_2}, \ldots

care converge într-un anumit punct din spațiu . $\mathbb {R} ^{n}$

Teorema Bolzano-Weierstrass din această formulare este uneori numită principiul compactității unei secvențe mărginite .

Versiune extinsă a primei formulări

Adesea teorema Bolzano-Weierstrass este completată cu următoarea propoziție.

Dacă succesiunea de puncte din spațiu este nelimitată , atunci este posibil să selectați o subsecvență din ea care are o limită . $\mathbb {R} ^{n}$ $\infty$

Pentru acest caz, această formulare poate fi rafinată: din orice succesiune numerică nelimitată, se poate selecta o subsecvență care are o limită infinită a unui anumit semn ( sau ). $n=1$ $+\infty$ $-\infty$

Astfel, orice succesiune de numere conține o subsecvență care are o limită în setul extins de numere reale . $\overline{\mathbb{R}}$

A doua formulare

Următoarea propoziție este o formulare alternativă a teoremei Bolzano-Weierstrass.

Fiecare submulțime infinită de spațiu mărginită are cel puțin un punct limită în . $E$ $\mathbb{R}^n$ $\mathbb{R}^n$

Mai detaliat, aceasta înseamnă că există un punct , fiecare vecinătate a căruia conține un număr infinit de puncte ale mulțimii . $x_0 \in \mathbb{R}^n$ $U_{\varepsilon}(x_0)$ $E$

Dovada echivalenței a două formulări ale teoremei Bolzano-Weierstrass

$\bigl ( 1 \Rightarrow 2 \bigr )$ Fie o submulțime infinită mărginită a spațiului . Luați într- o succesiune de puncte diferite $E$ $\mathbb{R}^n$ $E$

x_1, x_2, \ldots

Deoarece această secvență este mărginită, în virtutea primei formulări a teoremei Bolzano–Weierstrass, se poate extrage din ea o subsecvență

x_{k_1}, x_{k_2}, \ldots

convergând la un moment dat . Atunci orice vecinătate a punctului conține un număr infinit de puncte ale mulțimii . $x_0 \in \mathbb{R}^n$ $x_0$ $E$

\bigl ( 2 \Rightarrow 1 \bigr )

În schimb, să fie dată o secvență mărginită arbitrară de puncte din spațiu :

\mathbb{R}^n

$x_1, x_2, \ldots$ Setul de valori al acestei secvențe este limitat, dar poate fi infinit sau finit. Dacă este finită, atunci una dintre valori se repetă în succesiune de un număr infinit de ori. Apoi acești termeni formează o subsecvență staționară (adică, o secvență ale cărei toate elementele sunt aceleași, începând de la unele) convergând către punctul . $E$ $E$ $a \în E$ $A$

Dacă mulțimea este infinită, atunci, în virtutea celei de-a doua formulări a teoremei Bolzano-Weierstrass, există un punct în orice vecinătate din care există infinit de mulți membri diferiți ai șirului. $E$ $x_0 \in \mathbb{R}^n$

Să alegem secvențial pentru punctul în timp ce observăm condiția numerelor în creștere: $m = 1, 2, \ldots$ $x_{k_m} \in U_{1/m}(x_0)$

k_1 < k_2 < \ldots

Apoi, subsecvența converge către punctul .

x_{k_1}, x_{k_2}, \ldots

x_0

quod erat demonstraţie

Dovada

Teorema Bolzano–Weierstrass este derivată din proprietatea de completitudine a mulțimii numerelor reale . Cea mai cunoscută variantă a demonstrației folosește proprietatea completității sub forma principiului segmentelor imbricate .

Caz unidimensional

Să demonstrăm că din orice succesiune numerică mărginită este posibil să se selecteze o subsecvență convergentă. Următoarea metodă de demonstrare se numește metoda Bolzano sau metoda bisecției .

Să fie dată o secvență numerică mărginită

x_{1},x_{2},x_{3},\ldots

Din mărginirea șirului rezultă că toți membrii ei se află pe un anumit segment al dreptei reale, pe care îl notăm cu . $[a_0, b_0]$

Împărțiți segmentul în jumătate în două segmente egale. Cel puțin unul dintre segmentele rezultate conține un număr infinit de termeni de secvență. Să-l desemnăm . $[a_0, b_0]$ $[a_1, b_1]$

La pasul următor, repetăm procedura cu segmentul : îl împărțim în două segmente egale și alegem dintre ele pe cel care conține un număr infinit de membri ai secvenței. Să-l desemnăm . $[a_1, b_1]$ $[a_2, b_2]$

Continuând procesul, obținem o succesiune de segmente imbricate

[a_0, b_0] \supset [a_1, b_1] \supset [a_2, b_2] \supset \ldots

în care fiecare următor este jumătate din precedentul şi conţine un număr infinit de membri ai secvenţei . $\{x_k\}$

Lungimile segmentelor tind spre zero:

|b_m - a_m| = \frac{|b_0 - a_0|}{2^m} \la 0

În virtutea principiului Cauchy-Cantor al segmentelor imbricate , există un singur punct care aparține tuturor segmentelor: $\xi$

a_m \leqslant \xi \leqslant b_m, \; m = 0, 1, \ldots

Prin construcție, fiecare segment conține un număr infinit de termeni ai secvenței. Să alegem o secvență $[a_m,b_m]$

x_{k_m} \in [a_m,b_m], \; m = 0, 1, 2, \ldots

observând condiția numărului în creștere:

k_0 < k_1 < \ldots

Apoi, subsecvența converge către punctul . Aceasta rezultă din faptul că distanța de la până la nu depășește lungimea segmentului care le conține , de unde $\{ x_{k_m} \}$ $\xi$ $x_{k_m}$ $\xi$ $[a_m,b_m]$

|x_{k_m} - \xi | \leqslant |b_m - a_m| \la 0

Extindere la cazul unui spațiu de dimensiune finită arbitrară

Teorema Bolzano-Weierstrass se generalizează cu ușurință în cazul unui spațiu de dimensiune arbitrară.

Să fie dată o succesiune de puncte din spațiu : $\mathbb{R}^n$

\begin{matrice} x_1 = (x_1^{(1)}, x_1^{(2)}, \ldots, x_1^{(n)}) \\ x_2 = (x_2^{(1)}, x_2^ {(2)}, \ldots, x_2^{(n)}) \\ \ldots \\ \end{matrix}

(indicele de jos este numărul membrului secvenței, cel de sus este numărul de coordonate). Dacă succesiunea de puncte din spațiu este limitată, atunci fiecare dintre secvențele numerice de coordonate: $\mathbb{R}^n$

x_1^{(\nu)}, x_2^{(\nu)}, \ldots

este, de asemenea, limitat ( este numărul de coordonate). $\nu = 1, \ldots, n$

În virtutea variantei unidimensionale a teoremei Bolzano–Weierstrass, este posibil să se extragă din șir o subsecvență de puncte ale căror primele coordonate formează o succesiune convergentă. Din subsecvența rezultată, selectăm din nou o subsecvență care converge de-a lungul celei de-a doua coordonate. În acest caz, convergența în prima coordonată este păstrată datorită faptului că converge și orice subsecvență a unei secvențe convergente. Si asa mai departe. $\{ x_k\}$ $\{ x_{k_m} \}$ $\{ x_{k_m}^{(1)} \}$

După pași, obținem o secvență $n$

x_{r_1}, x_{r_2}, \ldots

care este o subsecvență a lui , și converge în fiecare dintre coordonate. Rezultă că această subsecvență converge. $x_1, x_2, \ldots$

Istorie

Teorema Bolzano-Weierstrass (pentru cazul ) a fost demonstrată pentru prima dată de matematicianul ceh Bolzano în 1817. În lucrarea lui Bolzano, a apărut ca o lemă în demonstrarea teoremei privind valorile intermediare ale unei funcții continue , cunoscută acum sub numele de teorema Bolzano-Cauchy. Cu toate acestea, aceste și alte rezultate, dovedite de Bolzano cu mult înainte de Cauchy și Weierstrass , au trecut neobservate. $n=1$

Abia o jumătate de secol mai târziu, Weierstrass, independent de Bolzano, a redescoperit și demonstrat această teoremă. Inițial a fost numită teorema Weierstrass, înainte ca opera lui Bolzano să fie cunoscută și să fie recunoscută.

Astăzi această teoremă poartă numele de Bolzano și Weierstrass. Adesea, această teoremă este numită lema Bolzano-Weierstrass și uneori lema punctului limită .

Teorema Bolzano-Weierstrass și noțiunea de compactitate

Teorema Bolzano-Weierstrass stabilește următoarea proprietate interesantă a unei mulțimi mărginite : fiecare șir de puncte conține o subsecvență convergentă. $M \subset \mathbb{R}^n$ $M$

La demonstrarea diferitelor propoziții în analiză, se recurge adesea la următorul truc: se determină o succesiune de puncte care are o proprietate dorită și apoi se selectează din ea o subsecvență, care o posedă și ea, dar deja convergând. De exemplu, așa se demonstrează teorema Weierstrass că o funcție continuă pe un interval este mărginită și își ia valorile cele mai mari și cele mai mici.

Eficacitatea unei astfel de tehnici în general, precum și dorința de a extinde teorema Weierstrass la spații metrice arbitrare , l-au determinat pe matematicianul francez Maurice Fréchet să introducă conceptul de compactitate în 1906 . Proprietatea mulțimilor mărginite în , care este stabilită de teorema Bolzano–Weierstrass, este, la figurat vorbind, că punctele mulțimii sunt situate mai degrabă „aproape” sau „compact”: după ce au făcut un număr infinit de pași de-a lungul acestei mulțimi , cu siguranță ne vom apropia cât de aproape ne place de care - un punct în spațiu. $\mathbb{R}^n$

Fréchet introduce următoarea definiție: o mulțime se numește compactă sau compactă dacă orice succesiune a punctelor sale conține o subsecvență care converge către un punct al acestei mulțimi. Se presupune că o metrică este definită pe mulțime, adică este un spațiu metric sau un subset al unui spațiu metric. $M$ $M$

Pe baza acestei definiții, nu orice mulțime mărginită este compactă: o subsecvență de puncte din poate converge către un punct care nu mai aparține acestei mulțimi. Cu toate acestea, închiderea unei mulțimi mărginite este deja compactă. Astfel, teorema Bolzano-Weierstrass stabilește o condiție suficientă pentru compactitatea în spațiu : pentru ca o mulțime să fie compactă , este suficient ca aceasta să fie închisă și mărginită. Nu este greu de verificat necesitatea acestor condiții (aceasta este mult mai ușor decât a dovedi suficiența). $M \subset \mathbb{R}^n$ $M$ $\mathbb{R}^n$ $M \subset \mathbb{R}^n$

Astfel, din punctul de vedere al definiției generale a compactității, rolul teoremei Bolzano-Weierstrass este acela de a stabili un criteriu de compactitate în spațiu : mulțimile compacte în sunt mulțimi exact mărginite închise. $\mathbb{R}^n$ $\mathbb{R}^n$

Vezi și

Note

Literatură

Kudryavtsev L. D. Curs de analiză matematică. - a 5-a ed. - M . : „Drofa”, 2003. - T. 1. - 704 p. - ISBN 5-7107-4119-1 .
Rybnikov K. A. Istoria matematicii. - M . : Editura Universității din Moscova, 1963. - T. 2.
Rudin U. Fundamentals of Mathematical Analysis = Principles of Mathematical Analysis / per. din engleza. Avin. Al doilea este stereotip. - M. : „Mir”, 1976.