Linie numerică extinsă

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 18 octombrie 2021; verificările necesită 4 modificări .

O linie numerică extinsă ( afin extinsă ) este o mulțime de numere reale , completate cu două puncte la infinit : (infinit pozitiv) și (infinit negativ), adică . Trebuie înțeles că nu sunt numere și au o natură ușor diferită, dar pentru ele, precum și pentru numerele reale, se definește și relația de ordine . De asemenea, elementele în sine sunt considerate inegale între ele. [unu] $\mathbb {R}$ $+\infty$ $-\infty$ ${\overline {\mathbb {R} }}=\mathbb {R} \cup \{+\infty ;-\infty \}=[-\infty ;+\infty ]$ $-\infty ,+\infty$ $-\infty$ $+\infty$

În acest caz, pentru orice număr real , prin definiție, se presupune că inegalitățile sunt satisfăcute . În unele materiale didactice, termenul „linie numerică extinsă” este folosit în legătură cu o dreaptă numerică extinsă cu un punct la infinit , nerelatată cu numerele reale printr-o relație de ordine, de aceea, uneori, pentru clarificare, o dreaptă cu un infinit este numit proiectiv extins , şi cu două - afin extins . [2] $x \in \mathbb{R}$ $-\infty <x<+\infty$

Semnul plus pentru un element nu este adesea omis ca și în cazul altor numere pozitive, pentru a evita confuzia cu infinitul fără semn al dreptei numerice extinse proiectiv. Cu toate acestea, uneori semnul este încă omis și, în astfel de cazuri, infinitul proiectiv este de obicei notat ca . $+\infty$ $\pm\infty$

Comanda

Mulțimea numerelor reale este ordonată liniar în raport cu . Cu toate acestea, nu există elemente maxime și minime . Dacă considerăm un sistem de numere reale ca o mulțime ordonată liniar, atunci extinderea lui la sistem constă doar în adăugarea elementelor maxime ( ) și minime ( ). $\mathbb {R}$ $\leqslant$ $\mathbb {R}$ $\overline{\mathbb{R}}$ $+\infty$ $-\infty$

Din această cauză, orice mulțime nevidă din sistem are o limită superioară exactă (finită dacă mulțimea este mărginită deasupra , iar dacă nu este mărginită deasupra ). O afirmație similară este valabilă și pentru limita inferioară . Aceasta explică comoditatea introducerii elementelor și . [3] [4] $\overline{\mathbb{R}}$ $+\infty$ $+\infty$ $-\infty$

Există 3 tipuri de intervale în linia numerică extinsă : interval, semiinterval și segment.

{\displaystyle (\alpha ,\beta )=\{x\in {\overline {\mathbb {R} }}\colon \alpha <x<\beta \))

- interval

{\displaystyle (\alpha ,\beta ]=\{x\in {\overline {\mathbb {R} }}\colon \alpha <x\leq \beta \))

, - jumătate de interval

[\alpha ,\beta )=\{x\in {\overline {\mathbb {R} }}\colon \alpha \leq x<\beta \)

[\alpha ,\beta ]=\{x\in {\overline {\mathbb {R} }}\colon \alpha \leq x\leq \beta \)

- segment de linie

Deoarece infinititățile de aici sunt aceleași elemente egale ca și numerele, intervalele finite și infinite nu se disting ca tipuri separate de intervale. [5]

Topologie

Relația de ordine generează o topologie pe . În topologie, golurile deschise sunt goluri de forma: $<$ $\tau$ $\overline{\mathbb{R}}$ $\tau$

{\displaystyle (\alpha ,\beta )=\{x\in {\overline {\mathbb {R} }}\colon \alpha <x<\beta \))

{\displaystyle (\alpha ,+\infty ]=\{x\in {\overline {\mathbb {R} }}\colon x>\alpha \))

[-\infty ,\beta )=\{x\in {\overline {\mathbb {R} }}\colon x<\beta \}

[-\infty ,+\infty ]=\{x\in {\overline {\mathbb {R} }}\}

unde . Seturile deschise , pe de altă parte, sunt definite ca toate uniunile posibile ale intervalelor deschise. $\alpha ,\beta \in {\overline {\mathbb {R} })$

Împrejurimi

O vecinătate a unui punct este orice set deschis care conține acest punct. Și, după cum rezultă din definiția seturilor deschise de topologie , fiecare vecinătate a unui punct include unul dintre golurile deschise care conțin . $U(a)$ $a\in {\overline {\mathbb {R} }}$ $\tau$ $A$ $A$

În cursurile de analiză matematică, se introduce de obicei un concept mai particular - vecinătatea unui punct pe dreapta reală extinsă ( ). $\varepsilon$ $U_{{\varepsilon }}(a)$ $\varepsilon >0$

În cazul , adică când este un număr, -vecinația se numește mulțime: $a\în {\mathbb {R}}$ $A$ $\varepsilon$ $A$

U_{{\varepsilon }}(a){\overset {{\mathrm {def}}}{=}}(a-\varepsilon ,a+\varepsilon ).

Dacă , atunci: $a=+\infty$

U_{{\varepsilon }}(+\infty ){\overset {{\mathrm {def}}}{=}}\left({\frac {1}{\varepsilon }}),+\infty \right] ,

si daca , atunci: $a=-\infty$

U_{{\varepsilon }}(-\infty ){\overset {{\mathrm {def}}}{=}}\left[-\infty ,-{\frac {1}{\varepsilon }}\right) .

Conceptul de -vecinatii pentru numere infinite este definit in asa fel incat in toate cazurile - cand este un numar real, sau unul dintre infiniti - cand numarul scade, vecinatile corespunzatoare scad: . [6] $\varepsilon$ $A$ $\varepsilon$ $0<\varepsilon _{1}<\varepsilon _{2}\Rightarrow U_{{\varepsilon _{1}}}(a)\subset U_{{\varepsilon _{2}}}(a)$

Cartierele perforate și -cartierele sunt definite, respectiv, ca fiind cartiere și -cartierele din care punctul însuși a fost eliminat. $\varepsilon$ $\varepsilon$

Limite

În multe cursuri de analiză matematică, limitele pentru tendința spre plus sau minus infinit sunt adesea definite separat. De asemenea, egalitățile limitelor plus și minus infinit sunt adesea definite separat. Toate aceste situații se încadrează într-o singură definiție a limitei (care corespunde definiției topologice generale a limitei ). ${\overline {\mathbb {R} }}$

Să , unde . În special, poate fi o funcție reală a unei variabile reale. Lasă . Apoi: $f\colon X\to {\overline {\mathbb {R} }}$ $X\subset {\overline {\mathbb {R} }}$ $f$ $x_{0},a\in {\overline {\mathbb {R} }}$

\lim _{{x\to x_{0}}}f(x)=a{\overset {{\mathrm {def}}}{\iff }}\forall \varepsilon >0\;\există \delta > 0\;\forall x\in X\;(x\in U_{{\delta }}(x_{0})\Rightarrow f(x)\in U_{{\varepsilon }}(a))

În același timp, tendința spre infinit pe ambele părți și egalitatea limitei infinitului nesemnat nu sunt acoperite de această definiție. Aceste cazuri pot fi acoperite și de definiția topologică generală a limitei, dar într-o structură diferită, și anume, într-o linie reală extinsă proiectiv.

În ciuda faptului că liniile numerice extinse afin și proiectiv au structuri diferite, limitele din ele sunt interconectate. Dacă limita în este egală cu una dintre infinitate, atunci în ea este egală cu infinitul. Dimpotrivă, nu funcționează: dacă limita în este egală cu infinit, aceasta nu înseamnă că în ea va fi egală cu una dintre infinitate. Un exemplu în acest sens este încă același la egal cu infinit, dar în el nu există. Totuși, legătura dintre cele două structuri poate fi totuși formulată ca o afirmație în ambele direcții: limita în este egală cu infinitul este egală cu infinitul dacă și numai dacă în ea fie este egală cu una dintre infinitate, fie nu există, dar mulţimea limitelor sale parţiale constă numai din infinit. ${\overline {\mathbb {R} }}$ ${\widehat {\mathbb {R} }}$ ${\widehat {\mathbb {R} }}$ ${\overline {\mathbb {R} }}$ $\lim _{x\to 0}{\frac {1}{x}}$ ${\widehat {\mathbb {R} }}$ ${\overline {\mathbb {R} }}$ ${\widehat {\mathbb {R} }}$ ${\overline {\mathbb {R} }}$

Compactitate

${\overline {\mathbb {R} }}$ este un spațiu Hausdorff compact . Spațiul numerelor reale este complet , dar nu compact. Astfel, sistemul extins de numere reale poate fi privit ca o compactare în două puncte . [2] În acest caz, se dovedește a fi homeoform pentru segmentul . Acest fapt are o ilustrare geometrică clară. Analitic homeoformismul este dat de formula: $\mathbb {R}$ ${\overline {\mathbb {R} }}$ $\mathbb {R}$ ${\overline {\mathbb {R} }}$ $[0,1]$ $f\colon [0,1]\to {\overline {\mathbb {R} }}$

f(x)={\begin{cases}-\infty &x=0\\\operatorname {tg} \left(\pi x-{\dfrac {\pi }{2}}\right)&0< x<1\\+\infty &x=1\end{cases}}

Teorema Bolzano-Weierstrass este valabilă pentru orice succesiune, nu doar pentru una limitată. Aceasta înseamnă că orice secvență din are o subsecvență care converge către . Astfel compactă secvenţial. ${\overline {\mathbb {R} }}$ ${\overline {\mathbb {R} }}$ ${\overline {\mathbb {R} }}$ ${\overline {\mathbb {R} }}$

Operațiuni

Pentru numerele și elementele reale , sunt definite următoarele acțiuni: $\pm\infty$

${\begin{aligned}a\pm \infty =\pm \infty +a&=+\infty ,&a&\neq \mp \infty \\a\cdot (\pm \infty )=\pm \infty \ cdot a&=\pm \infty ,&a&>0\\a\cdot (\pm \infty )=\pm \infty \cdot a&=\mp \infty ,&a&<0\\{\frac {a}{\pm \infty ))&=0,&a&\in \mathbb {R} \\{\frac {\pm \infty }{a))&=\pm \infty ,&a&>0\\{\frac {\pm \ infty }{a}}&=\mp \infty ,&a&<0\\a^{+\infty }&=+\infty ,&a&>1\\a^{-\infty }&=+\infty ,&0& <a<1\\a^{-\infty }&=0,&a&>1\\a^{+\infty }&=0,&0&\leq a<1\\(+\infty )^{a} &=+\infty ,&a&>0\\(+\infty )^{a}&=0,&a&<0\\\operatorname {ln} {+\infty }&=+\infty \end{aligned}}$

Sensul expresiilor , , , nu este definit. [2] $(+\infty )-(+\infty), 0\times (\pm \infty), {\frac {0}{0))$ ${\displaystyle 1^{\pm \infty ))$ $(\pm \infty )^{0)$ $0^{0}$

Contrar credinței populare, sensul expresiei , unde , este, de asemenea, nedefinit. Extinderea acestei expresii la unul dintre infinitate va rupe continuitatea operației de împărțire. Acest lucru poate fi ilustrat prin exemplul funcției . Limita sa la zero în stânga este , iar în dreapta , ceea ce înseamnă că nu există o limită cu două fețe în acest moment. Din această cauză, indiferent cum extindem definiția funcției la zero, aceasta va rămâne discontinuă. ${\frac {a}{0}}$ $a \neq 0$ ${\frac {1}{x))$ $-\infty$ $+\infty$

Notația întâlnită adesea sau se referă la o structură fundamental diferită - o linie numerică extinsă proiectiv, în care infinitul este un obiect complet diferit. ${\frac {a}{0}}=\infty$ ${\frac {a}{0}}=\pm \infty$

Proprietăți algebrice

Următoarele egalități înseamnă: ambele părți fie sunt ambele egale, fie ambele nu au sens

$a+b=b+a$
$(a+b)+c=a+(b+c)$
$a\cdot b=b\cdot a$
$(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$

Următoarele egalități sunt adevărate dacă partea dreaptă este definită.

$a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$

Următoarele proprietăți sunt adevărate dacă ambele părți ale inegalității corecte au sens

dacă , atunci $a\leq b$ $a+c\leq b+c;$
dacă , atunci $a\leq b,~c>0$ $a\cdot c\leq b\cdot c.$

Vezi și

Linie numerică extinsă proiectiv

Note

↑ Kudryavtsev, 2003 , p. 64.
↑ 123 Wolfram . _ _
↑ Kudryavtsev, 2003 , p. 75.
↑ Rudin, 2004 , p. 24.
↑ Kudryavtsev, 2003 , p. 65.
↑ Kudryavtsev, 2003 , p. 66.

Literatură

Kudryavtsev, L. D. Curs de analiză matematică. - a 5-a ed. - M . : „Drofa”, 2003. - T. 1. - 704 p. - ISBN 5-7107-4119-1 .
Numere reale Cantrell DW extinse în mod afin . Wolfram Math World . Weisstein EW. Data accesului: 9 ianuarie 2022.
Rudin U. Fundamentals of Mathematical Analysis = Principles of Mathematical Analysis. - Ed. a 3-a. - M. : Lan, 2004. - 320 p. — ISBN 5-8114-0443-3 .